С-ядро
Определение 4 [67]: Множество недоминируемых дележей игры называется ее С-ядром .
Множество дележей, принадлежащих С-ядру, считается решением кооперативной игры.
Определение 5: Собственной коалицией называется коалиция, отличная от максимальной коалиции (коалиции, состоящей из всех игроков).
Теорема VII.4.2 [67].
Чтобы дележ х принадлежал С-ядру, необходимо и достаточно выполнения для всех собственных коалиций S с 7V неравенствv(S)<5>,..
i<=S
Решение этой системы линейных неравенств - это выпуклый многогранник в пространстве 91|дг'. Можно найти его крайние точки и описать любой дележ из С-ядра, как их взвешенную линейную комбинацию [39].
Необходимым и достаточным условием существования непустого С-ядра является свойство сбалансированности игры. Определение 6 [5]: Для данного множества игроков N сбалансированным покрытием называется такое отображение 8^ из множества собственных коалиций 2N\{N} в отрезок [0, 1], что
= 1 для всех игроков ieN,
S: iGS
где суммирование ведется по всем собственным коалициям, содержащим игрока /.
Теорема Бондаревой [5]. С-ядро игры (N, v) не пусто тогда и только тогда, когда для любого сбалансированного покрытия д q выполнено неравенство (11) ZSsv(S) Если для некоторой кооперативной игры выполнено условие (11), то игра называется сбалансированной. Если характеристическая функция v игры имеет вид v(S) = u(S) + w(S) и игры и и w сбалансированы, то и игра v также сбалансирована [67]. Если для игры с характеристической функцией v найдется такая сбалансированная игра w, что v(N) = w(N), V S<^N v(S) < w(S), то игра v также сбалансирована [67].