Вектор Шепли
Определение 15 [52]: Оператор значения маргинален, если его значение зависит только от маргинальных вкладов игроков в коалиции, то есть от величин v(S U !'!) - v'(.V).
Определение 16 [52]: Носителем игры называется такая коалиция S, что для любой коалиции Т выполнено равенство v(T) = v(T П S).Определение 17 [52]: Для двух игр N лиц с характеристическими функциями и и v их суммой называется игра с характеристической функцией R'(.S') = u(S) + v'(.V) для любой коалиции S. Аксиомы Шепли [1]:
Если S - любой носитель игры v, то Х^фМ), = v(.V). где
i<=S
(ф| v |)( - это компонента вектора Шепли, относящаяся к i-му игроку.
cp[v] анонимен.
Для любой пары игр и и v выполнено (р[и + v]= (р\и \ + (p\v\.
Вектор Шепли - это оператор значения, задаваемый формулами: *,= S S(v(5U{/})-v(5)) [1].
0<5<и-1 П\ ScN\{i}
\S\=s
Теорема 5.2 [52]. Аксиомы Шепли определяют единственный оператор значения - вектор Шепли.
Существует и альтернативный набор аксиом, также единственным образом характеризующий вектор Шепли: Теорема 5.1 [52]. Вектор Шепли - единственный анонимный и маргинальный оператор значения.
Для содержательной интерпретации вектора Шепли используется так называемая арбитражная схема Шепли. Пусть игроки договорились собраться в определенном месте. Из-за случайных флуктуаций они будут прибывать в разное время. Будем предполагать, что вероятность любого из п\ порядков появления игроков одинакова и равна 1 !п\. Предположим, что если игрок, прибывая на место, находит там членов коалиции S и только их, то он получает выигрыш xi = v'(.V U {'}) — v(S). Значение компоненты вектора Шепли - это математическое ожидание выигрыша игрока в условиях описанной рандомизированной схемы.
От оператора значения было бы логично ожидать, чтобы справедливо (в соответствии с принятой аксиоматикой) распределенный доход давал бы дележ, принадлежащий С-ядру (если игра сбалансирована), то есть чтобы он был селектором ядра. Одним из недостатков вектора Шепли является то, что он, в общем случае, селектором ядра не является [52].