Решения в угрозах и контругрозах
Пусть, например, в процессе игры трех лиц образовалась коалиционная структура {{1,2}, {3}}, содержащая коалицию Т={\,2}, в которую входят игроки с номерами 1 и 2.
При распределении дохода коалиции v({l, 2}) игроки 1 и 2 получают суммы Х\ и х2 соответственно. Тогда, если игрок 1 недоволен таким распределением, то он может сказать своему партнеру, чтоесли его доля дохода не будет увеличена, то он сформирует коалицию S = {1,3}, где сможет рассчитывать на больший выигрыш. Если такая коалиция S может образоваться, то есть если игроку 3 выгодно сменить конфигурацию х на новую конфигурацию у, то такое заявление может реально угрожать целостности коалиции Т и называется угрозой игрока 1 игроку 2. В свою очередь, игрок 2, интересы которого ущемлены подобным сценарием, может заявить игроку 1, что в случае подобных его действий он может предложить игроку 3 такую конфигурацию z коалиционной структуры {{1}, {2,3}}, что игрок 3 получит больший доход, чем в конфигурации у, а сам игрок 2 получит не меньше, чем в исходной конфигурации х. Таким образом, игрок 2 выдвигает контругрозу, «защищающую» его долю х2. Для общего описания этой идеи введем следующие определения.
Пусть Г = {'/j.....7',.} - некоторая коалиционная структура, а К - произвольная коалиция. Тогда партнерами коалиции К назовем множество 1'{К. Г) = {/':/' е Тк, Тк П К Ф 0}. Таким образом, игрок / - партнер коалиции А" в Г. если он входит в ту же коалицию, что и какой-либо из игроков К. Смысл этого определения состоит в следующем: чтобы члены коалиции К могли получить свою долю в коалиционно рациональной конфигурации (х, Г), им необходимо согласие только своих партнеров.
Пусть (х, Г) - коалиционно рациональная конфигурация в игре v, а К и L - непустые непересекающиеся подмножества некоторой коалиции Тк е Г . Тогда угрозой коалиции К против коалиции L называется коалиционно рациональная конфигурация (у, U), удовлетворяющая условиям: 1'{К.!/)[] L = 0 , х2 = х'2 для всех i е К, yt> xi для всех i е Р(К, U).
Пусть (х, Г) - коалиционно рациональная конфигурация в игре v, а К и L - те же коалиции, что и в предыдущем определении.
Если (у, U) - угроза коалиции К против коалиции L, то контругрозой коалиции L против коалиции К называется коалиционно рациональная конфигурация (z, V), удовлетворяющая условиям: К qlP(L,V) , zi >xi для всех ieP(L,V), zi >yi для всех 7 е P(L, V) П Р(К, U).То есть члены коалиции К, выдвигая угрозу против L, претендуют на то, что они смогут получить больше путем перехода к новой коалиционно рациональной конфигурации, и что их новые партнеры будут согласны с этим. Члены коалиции L могут выдвинуть контругрозу, если они сумеют найти третью коалиционно рациональную конфигурацию, в которой и они, и все их партнеры получат не меньше своей первоначальной доли. Если для этого членам L в качестве партнеров нужны некоторые партнеры коалиции К (или даже некоторые члены К) в конфигурации угрозы, то им дают не меньше, чем они получали в коалиционно рациональной конфигурации угрозы. Определение 20 [67]: Конфигурация называется устойчивой, если на каждую угрозу произвольной коалиции К против другой коалиции L найдется контругроза коалиции L против коалиции К. Множество устойчивых конфигураций называется решением в угрозах и контругрозах.
Итак, в данном разделе кратко описаны основные концепции решения, используемые теорией кооперативных игр. Обзор позволяет сделать вывод, что в настоящее время в теории кооперативных игр не существует единой и общепризнанной концепции решения игры.
В связи с этим, для решения поставленной во введении задачи, а именно - формулировки модели коалиционного взаимодействия участников ОС, необходимо осуществить выбор одной (или нескольких, совместимых между собой в некотором смысле) концепции решения.