3.6. Равновесие в угрозах и контругрозах
то есть для линейных производственных элементов с ограничениями на мощность.
Примем также, что непрерывный механизм прямых приоритетов удовлетворяет «свойству нулевой заявки».Ценность исследования этого случая снижается тем, что центру безразлично, как распределять ресурс между агентами, так как в силу линейности производственных функций любое распределение ресурса приводит к одинаковой эффективности. Целью данного рассмотрения является демонстрация того, как сложен и громоздок может быть процесс поиска решения в угрозах и контругрозах даже в очень простых моделях.
Напомним, что решением в угрозах и контругрозах называется конфигурация (то есть сочетание коалиционной структуры и распределения доходов коалиций этой структуры между ее участниками), в которой на любую угрозу произвольной коалиции найдется контругроза. В случае трех агентов любая существенная для данной концепции решения коалиционная структура состоит из двух коалиций, в одну из которых входит один агент, а в другую - два. То есть возможны только угрозы и контругрозы одного агента другому (но не большей коалиции), так как угрожать можно только членам своей коалиции в рассматриваемой коалиционной структуре. Таким образом, рассматриваться будут только коалиционные структуры вида
{{1}, {2, 3}}, {{2}, {1, 3}} и {{1, 2}, {3}}. Оставшиеся коалиционные структуры (то есть {{1, 2, 3}} и {{1}, {2}, {3}}) интереса
не представляют, так как в первой из них решение в угрозах и контругрозах совпадает с С-ядром (угроз нет вообще), во второй же угрожать некому, так как все коалиции состоят из одного агента.
В зависимости от параметров агентов (точек г,) характеристическая функция игры будет выглядеть по-разному.
Для того, чтобы сразу исключить симметричные случаи, примем, что г\<г2< г3, что есть агенты упорядочены по возрастанию ограничения на мощность производства. Тогда возможны следующие случаи:Г\< R/3 (первый агент - диктатор), r2 В коалиционной структуре {{1, 2}, {3}} объединение первых двух агентов не увеличивает их выигрыш, так как v(12) = Г\ + г2. Единственный индивидуально рациональный дележ коалиции {12} будет У] = f\, у2 =г2 ¦ При этом v(3) = R- Г\- г2. Как видно, любая угроза агента 1 или 2 должна предполагать партнерство с агентом 3. Значит, ему необходимо гарантировать не менее, чем v(3). Так как v(13) = R - г2 и v(23) = R - гь значит, доля агентов 1 и 2 в дележе коалиций {13} и {23} не может превышать Г\ и г2, что они имеют как безо всякой кооперации, так и в коалиционной структуре {{1, 2}, {3}}. Аналогично и для коалиционных структур {{2}, {1,3}} и {{1}, {23}} единственным индивидуально рациональным распределением будет у, = гх, у2 = г2. Уз = R — rx —г2. При этом никаких угроз быть не может, как и выигрыша от коалиции. При произвольно малых затратах на создание коалиции образование любой коалиционной структуры будет строго невыгодным. Таким образом, при наличии двух диктаторов в рамках решения в угрозах и контругрозах кооперация агентов нерациональна. r\ < R/3, второй агент - не диктатор (r2 > R/3), но Г\ + r2 < 2R/3. Характеристическая функция: v(l) = rx, v(2) = R/3, v(3) = R-rx-r2,v(\2) = rx+r2, v(23) = R - rx, v(13) = 2Д / 3, v(123) = Д. Рассмотрим коалиционную структуру {{12}, {3}}. Возможные дележи определяются равенствами: Xj + х2 = v(12) = rx + r2, х3 = v(3) = R-rx -r2. Возможны только угрозы агента 1 агенту 2 и агента 2 агенту 1. Рассмотрим угрозу агента 1 агенту 2. Он может предложить единственную коалиционную структуру {{13}, {2}}. где е - некоторое положительное число. Дополнительно дележ ограничен условиями индивидуальной рациональности. Среди возможных контругроз агента 2 (а он может угрожать только образованием коалиционной структуры {{1}, {23}}) можно ограничиться рассмотрением лишь самой сильной, в которой его доля z2 минимальна и равна его доле х2 в исходном дележе: z2 + z3 = v(23) = R-rx,zx = v(l) = rx,z2 = x2, z3 =R-rx -x2 > y3 =2R/3 — xl -?. Таким образом, для того, чтобы для произвольной угрозы агента 1 существовала контругроза агента 2, необходимо, чтобы для произвольного е выполнялось неравенство R-rj - х2 > уэ = 2R /3 - Xj - е, то есть чтобы выполнялось условие х2 < R / 3 - гх + хх + ? . Рассматривая аналогичным образом угрозы агента 2 и контругрозы агента 1, получим подобное же условие x2>R!3-rl+xl-S, где 8 - некоторое положительное число. Поскольку как <5. так и е могут быть сколь угодно малы, совместного выполнения этих неравенств можно добиться лишь при равенстве х2 > R / 3 - гх + хх, что в сочетании с условием сбалансированности конфигурации хх + х2 = v(12) = гх + г2, дает равновесие в угрозах и контругрозах rmi mi I r2 -^/3 r2 +R/3 {{12},{3}}: X] = Aj H — , , Рассмотрим теперь коалиционную структуру {{1}, {23}}. Дележи ограничены равенствами х2 +х3 = v(23) = R - Aj, Xj = v(l) = Aj . Здесь возможны угрозы агентов 2 и 3 друг другу. Ограничения на угрозу агента 2 агенту 3 (2-й угрожает образованием коалиционной структуры {{12}, {3}}): У\ +У2 =v(12) = r1 +r2,y3 = v(3) =R-rx -r2, у2 = х2 = = Aj +г2 -х2 - ?>Х! = Aj. (О, ДО) е механизме пропорционального распределения ресурса Сильнейшая контругроза агента 3 определяется неравенства- ми (для {{13}, {2}}): Zj + z3 = v(13) = 2R/3,z2= V(2) = R/3,z3=x3, ZJ = 2R /3 - x3 > y1 =rl+r2-x2-e, то есть для существования контругрозы необходимо выполнение условия х3 < 2R/3 - Aj - r2 + х2 + е . rm mn r2+R/3 5R r2 {{1},{23}}: Xj = f\, x2= , x3= — I 6 2 Повторяя ту же цепочку рассуждений для коалиционной структуры {{13}, {2}} получаем следующее равновесие в угрозах и контругрозах: {{13},{2}}: х2 = R/3, 2 6 2 Для наглядности все три равновесия изображены на рис. 12. Так как сумма всех дележей равна R, их можно изобразить на симплексе Х\ + х2 + х3 = R. Линии представляют собой ограничения индивидуальной рациональности. Видно, что во всех образующихся коалициях прибыль от кооперации делится поровну между партнерами коалиции. Агент же, не присоединившийся к коалиции, получает прибыль, определяемую характеристической функцией для коалиции, состоящей из него одного. Таким образом, для рассматриваемых параметров агентов показано, что будет образовываться одна из коалиций: {12}, {13} или {23}, и прибыль от кооперации будет делиться агентами поровну. 3. r\< R/3, второй агент - не диктатор (r2 ^ R/3), и r\ + r2 > 2R/3. Характеристическая функция v(l) = /j, v(2) = R/3, v(3) = R/3, v(12) = 2R/3, v(23) = R - rx, v(13) = 2R / 3, v(123) = R. Рассмотрим коалиционную структуру {{12}, {3}}. Ее дележи удовлетворяют условиям: Xj+X2 = v(12) = 2R/3, х3 = v(3) = R/3 . Угрозы агента 1 агенту 2 удовлетворяют условиям: У\ + Уз = v(13) = 2R/3,у2 = v(2) = R/3,yx =хх+?,уъ = = 2R/3-xx -?>х3 =R/3. Сильнейшая контругроза агента 2 агенту 1 удовлетворяет условиям: z2 + z3 = v(23) = R-rl,zl = v(l) = rx,z2 =x2, z3 = R-rx -x2 > y3 = 2R/3-xx -?. Следовательно, для существования контругрозы необходимо выполнение условия х2 < R / 3 - гг + х1 + е . Аналогично для угроз агента2 агенту 1 имеем условие: x2>R!3-rl+xl-? . Следовательно, равновесие будет выглядеть следующим образом: 1(121,(31!: r,=f Аналогично получаются и два остальные равновесия: 1(131,!2)1: *2=f, = 111),123Ц: *,=г„ '''^Y1- 4. Г\ > i?/3 (первый агент - не диктатор, значит остальные - и подавно). В этом случае заявки всех агентов максимальны независимо от коалиционной структуры и характеристическая функция игры равна v(l) = v(2) = v(3) = R/3, v(12) = v(23) = v(13) = 2R/3, v(123) = Л , то есть характеристическая функция полностью симметрична и линейна. В силу линейности характеристической функции, единственный возможный дележ - это дележ Xi = х2 = х3 = R/3. Соответственно он же и является С-ядром. При этом кооперация не приносит агентам никакой прибыли. Предполагая аналогично случаю 1 наличие малых затрат на образование коалиций, можно сказать, что здесь, как и в случае 1, кооперация нерациональна. Заметим, что содержательные равновесия получились как раз для тех профилей типов агентов, где, как было показано выше, С- ядро оказывалось пустым. Для профилей, в которых было показана непустота С-ядра, любая кооперация оказалась не приносящей прибыли из-за того, что в рассматриваемом случае линейного производства игра несущественна. В силу ограничений рассматриваемой модели оказалось также, что в случаях 2 и 3 (при «средней» мощности производства второго агента), любому из агентов все равно, кого из своих противников приглашать в коалицию, для них важен лишь сам факт образования коалиции, то, что их «не оставили в стороне». На вопрос, какая именно коалиция образуется, данная модель ответа не дает, так как для этого необходимо изучение неформальных симпатий и антипатий между агентами. Итак, в третьей главе рассмотрены коалиционные взаимодействия агентов в механизмах распределения ресурса: Исследованы различные способы коалиционных взаимодействий агентов, предложена классификация коалиционных взаимодействий в задаче распределения ресурса. Для случая нетрансфе- рабельной полезности показана невыгодность объединения агентов в коалиции. Для случая трансферабельной полезности построена характеристическая функция и найдено достаточное условие сбалансированности игры. Предложен механизм распределения ресурса (механизм постоянных приоритетов), имеющий максимальную эффективность в условиях коалицион-ного взаимодействия агентов. Приведен пример построения решений в угрозах и контругрозах в частном случае трех агентов с линейными производственными функциями.
