Распределение ресурса между тремя агентами

(хЛ

кции агентов можно записать в виде ft = rt ¦ f — (обобщенные

г

\ t /

производственные функции Кобба-Дугласа).

для всех агентов и обладает следующими свойствами:

(128) ДО) = 0, Д1) = 1, /' (х) > 0 при х < 1, /'(х) < 0 при х > 1, /" (х) < 0.

Примером подобной функции является /(х) = 2х - х2.

Лемма 12. При f(x) = 1(х) := ¦ Х ° игра агентов сбалансирована.

[1, х>0

Доказательство. Условие сбалансированности (11) для таких производственных функций агентов имеет вид: Ssrs < /у .

Непосредственно применяя лемму 4 для т = 1, получаем результат леммы. •

Функция /(х) = 1(х) является поточечным пределом последовательности производственных функций вида Кобба-Дугласа

(1 /к Уш

х )к=1. Таким образом, можно утверждать, что для произвольного вектора точек пика производственных функций существуют такие вогнутые производственные функции агентов, имеющие максимумы в этих точках, что игра агентов будет сбалансирована, однако гарантировать сбалансированность для произвольных

вогнутых производственных функций можно только если вектор точек пика удовлетворяет условиям следствий 5 или 6.

Построим зоны сбалансированности и несбалансированности игры на симплексе гА+г2+гъ= р для некоторого значения р (см. рис. 10).

(0, р, 0)

Рис. 10. Зоны сбалансированности и несбалансированности игры

На рис. 10 зоны, где в соответствии с результатами следствий 5 и 6 игра гарантированно сбалансирована, изображены светлым тоном, а зоны, где в зависимости от конкретного вида производственных функций агентов игра может быть как сбалансирована, так и нет - темным.

Как видно из рис. 10, центральная и угловые зоны симплекса соответствуют сбалансированным играм.

Действительно, если вероятность реализации того или иного значения точки пика целевой функции агента представлена равномерным распределением, отношение площади области сбалансированности С к полной площади симплекса даст вероятность того, что профиль точек пика агентов гарантирует образование максимальной коалиции. При этом интересным представляется проследить, хотя бы качественно, как меняется площадь области С при варьировании дефицита в системе (параметр R/p). Рис. 11 демонстрирует зоны сбалансированности и несбалансированности для разных степеней дефицита в системе. Стрелки показывают рост дефицита, то есть уменьшение параметра R/p.

Рис. 11. Динамика зон пустого и непустого С-ядра при росте дефицит

Как видно из рис. 11, при росте общей потребности в ресурсе центральная зона увеличивается в размерах, угловые зоны сохраняют свой размер. При больших (относительно имеющегося количества ресурса R) потребностях основную площадь занимает центральная зона.

Точный расчет зон сбалансированных и несбалансированных игр с помощью вычислительной модели для параболических

производственных функций показал, что при росте уровня дефицита зона несбалансированных игр монотонно уменьшается, пропадая с некоторого момента.