2.2.4. Многокритериальная нечеткая модельформирования портфеля проектов
реализации отдельных проектов оценивается с точки зрения стратегии организации в целом, то есть в общем случае - по нескольким критериям, однозначная оценка проекта по которым не всегда возможна.
Кроме того, проекты требуют затрат ресурсов, как минимум, нескольких видов (в отличие от инвестиционных портфелей или портфелей ценных бумаг, описываемых лишь финансовыми показателями). Поэтому обобщим "задачу о ранце" на случай, во-первых, многокритериальных нечетких оценок проектов, и, во-вторых, на случай использования при реализации проектов ресурсов нескольких видов.Рассмотрим следующую модель. Пусть имеется m видов ресурсов и известно, что каждый проект i е N требует ресурсы cij, j eM = {1, 2, ¦.., m} - множеству ресурсов.
Будем считать, что каждый проект i е N оценивается по k критериям, оценки ail по которым принимают значения из множеств Al, l е K = {1, 2, ¦.., k} - множеству критериев.
Введем предположение об аддитивности оценок и ресурсов по проектам: оценка портфеля по каждому критерию получается суммированием оценок по данному критерию по всем проектам, входящим в портфель; ресурсы каждого вида, требуемые для реализации портфеля проектов, определяются суммированием количеств ресурса данного вида по всем проектам, входящим в портфель. Отметим, что, если отказаться от этого предположения, то в общем случае для решения задачи формирования портфеля необходимо сравнивать все (!) возможные портфели.
Портфель Q где CQj = Z 'j еМ. iGQ Под ресурсным ограничением будем понимать следующее. Пусть известны имеющиеся в организации ресурсы каждого вида, которые могут быть использованы для реализации проектов: R = (R1, R2, ..., Rm)- Портфель Q будем считать удовлетворяющим ресурсным ограничениям, если выполнено: (1) Cq leK ченное множество) найти оптимальный (допустимый и наилучший с точки зрения значения функции агрегирования) портфель . Для решения этой задачи может быть использован следующий алгоритм. Построим на плоскости следующую сеть: из начальной точки (0; 0) отложим две дуги, соответствующие включению или невключению первого проекта в портфель. Если в некоторой точке "пересекаются" два пути, то есть два набора проектов характеризуются одинаковыми затратами ресурсов (что, как правило, делает метод динамического программирования более эффективным, чем простой полный перебор), то, если один набор Парето-доминирует другой по критериальным оценкам, то следует оставить доминирующие оценки, если же домини-рования нет, то следует в дальнейшем (добавляя новые проекты) рассматривать обе комбинации оценок. Для каждого из окончательных вариантов рассчитываем век-тор затрат ресурсов и вектор эффектов. Достоинством описанного метода является то, что при добавлении новых проектов - претендентов на включение в портфель, или исключении части имеющихся, нет необходимости пересчитывать заново все варианты. Это возможно в силу введенного выше предположения об аддитивности оценок и аддитивности ресурсов. В результате получаем в общем случае 2 n портфелей, каждый из которых описывается двумя векторами - затрат и эффектов (всего - m-k числами). Затем исключаем портфели, нарушающие ресурсное ограничение (1) (если оно фиксировано, то проверять его можно и в процессе построения сети, сразу оставляя только допустимые портфели), и портфели, доминируемые по Парето с точки зрения затрат и эффектов (такую проверку также можно осуществлять в процессе построения сети, сразу оставляя только недоминируемые портфели). В результате получаем множество допустимых и эффективных по Парето портфелей проектов. Завершив описание алгоритма, отметим, что далее возникает задача многокритериальной оптимизации (принятия решений при многих критериях), для решения которой существует множество детально проработанных методов [129]. Число вариантов (возможных портфелей) быстро растет с ростом числа проектов-претендентов . Сократив число вариантов, можно применять те или иные процедуры выбора окончательного множества проектов, включаемых в портфель. Для этого в случае одного вида ресурса и двух критериев оценки проектов (k = 2) удобно использовать следующий прием: нанесем на плоскости точки, соответствующие ото-бранным портфелям и проставим около каждой точки соответствующие затраты. Примерами использования такого подхода являются: так называемые РЭСТ-диаграммы (в случае, когда критериями являются эффект и риск) [28] и модели отбора предприятий на получение налоговых льгот [32]. Полученная диаграмма, во-первых, может служить основой для обсуждения и согласования окончательных вариантов портфеля проектов, и, во-вторых, позволяет ставить и решать ряд практически важных задач: определения "минимальных" затрат, обеспечивающих достижение заданного вектора оценок, принятия решений о целесообразности взятия кредита для финансирования части проектов и т.д. Отметим, что рассмотренная в настоящем разделе модель в случае скалярных оценок и одного вида ресурса переходит в описанный в [33, 32, 41] метод "затраты-эффект". Нечеткая модель. Выше рассмотрена многокритериальная модель формирования портфеля проектов, в которой требуемые для реализации проектов количества ресурсов и оценки эффекта были четкими. Если для получения информации о затратах ресурсов можно использовать нормативы или ретроспективные данные, то эффект от реализации проекта, особенно с точки зрения стратегических целей организации, не всегда можно оценить однозначно. Рассмотрим многокритериальную модель формирования портфеля проектов, в которой оценки эффекта являются нечеткими, а оценки затрат ресурсов - четкими (последние также можно сделать нечеткими, однако это сделает модель слишком громоздкой). Пусть проект i e N по критерию l e K характеризуется нечеткой оценкой ail, определяемой функцией принадлежности Маа a): Al — [0; 1]. В силу аддитивности оценок эффекта, портфель Q cN характеризуется векторной оценкой aQ = (aQ1, aQ2, ••', aQk ), где aQ1 - нечеткая оценка с функцией принадлежности (aQl): Al — [0; 1], вычисляемой (в силу принципа соответст- aQl вия [127]) следующим образом: (2) ^ (aQl) = sup mill {(ail) }, l eK. {(ail W^ "U =aQ' } ieQ Вектор ресурсов для портфеля вычисляется также как и выше. В остальном алгоритм, описанный выше для четкого случая, остается без изменений (если носители нечетких множеств оценок пересекаются, то необходимо рассматривать обе комбинации, приведшие к одному и тому же значению). Отметим аддитивность процедуры (2) вычисления значений функций принадлежности, то есть (aQl) = sup min {(aj7), {(ajl ,a(Q\{ j}) l )\ajl +a( Q\{j})l =aQl } /\{j})l (a(Q\{DH )}, j е Q l eK, Q описываются нечеткой целью в этом пространстве. Функцию принадлежности нечеткой цели обозначим (a), a = (ai, a2, ¦.., ak)eA'. Функцию принадлежности векторной нечеткой оценки aQ портфеля Q в пространстве A' определим в соответствии с [127] как /aQ (a) = mKn { (aQl )}. Степень соответствия портфеля Q нечеткой стратегической цели организации (a) определим как F(Q) = max min [ /л- (a), /-(a)], Q Число F(Q), принимающее значения в интервале от нуля до единицы, можно считать степенью (четкой!) соответствия портфеля Q стратегическим целям организации. Эту характеристику можно вычислять на каждом из шагов описанного выше алгоритма, что сводит нечеткую задачу к четкой. Интервальная модель. Частным случаем нечеткой модели является интервальная модель, в которой функция принадлежности принимает значения либо ноль, либо единица. Интервальная оценка ail i-го проекта по l-му критерию будет описываться интервала [ a- , ah]: 1, au е [a~; au ] ~а"У'~и/ |0, aa ? [a,; а+ ] + - Л-а,, a ) = " \ V "Л, i eN, l eK. Интервальная оценка -q, портфеля Q (5) aQl = [ a-l; aQ] где aQl = 2 ail , aQl = 2a+ , l eK. ieQ ieQ Обозначим B(Q) = ^[aQ; aQ ] сЛ' - параллелепипед в про- leK странстве Л', соответствующий интервальным оценкам 3q1 , l eK, портфеля Q. Тогда степень соответствия интервально оцениваемого портфеля Q нечеткой стратегической цели j~(a) организации можно вычислить как (6) F (Q) = max j~(a), Q cN. aeB (Q) G Приведем иллюстративный пример.