2.1.4. Проблема манипулирования информацией
Если решения, принимаемые на основании агрегированного критерия, затрагивают интересы агентов, то они будут стремиться сообщить такую информацию, чтобы принимались наиболее предпочтительные для них решения.
Следовательно, возникает проблема манипулирования информацией [41]. Значит необходимо исследование условий, при которых агентам будет выгодно сообщать достоверную информацию.Обозначим А - k-мерный единичный симплекс, где k - число критериев. Будем параллельно рассматривать два механизма: ф): (Ak)n — А и g(v): (Щ +-1 )n — Щ +-1, где n - число агентов.
Механизм я(-). Будем считать, что в механизме П) i-ый агент сообщает центру информацию s, = (si1, si2, ..., sik), Ysij = 1, где
jeK
Sj >0 - сообщение (не обязательно истинное) о его представлениях об относительной важности критерия j e K, i e N.
Истинные предпочтения i-го агента - идеальная точка - его субъективные представления об относительной нормированной важности критериев (его тип [41]) - обозначим r, = (ri1, ri2, ..., rik), rj >0, j eK, Yrj = 1, i eN.
jeK
Центр принимает решения на основании процедуры планирования (механизма принятия решений, механизма агрегирования мнений агентов) - вектор-функции П), такой, что n(s) является относительным приоритетом j-го критерия, где s = (s1, s2, ..., sn), j eK.
Механизм g(-). В механизме П) считалось, что каждый из агентов сообщает вектор приоритетов критериев, удовлетворяющий условию нормировки. Мыслить в таких категориях (отслежи-вать нормированность и т. д.) может быть затруднительно, поэтому рассмотрим модель, в которой требование нормировки априори не накладывается.
В механизме g( •) сообщение каждого агента имеет вид вектора Vj = (vi1, vi2, ..., vik-1, 1), где Vj - приоритет j-го критерия относи-
тельно k-го с точки зрения i-го агента, j eK \ {k}, i eN (понятно, что в качестве точки отсчета - базового критерия - может быть выбран любой критерий, а не обязательно k-ый, как это сделано выше).
Истинные предпочтения i-го агента в механизме g(-) обозначим W, = (wib wi2, ..., 1), Wy >0, j eK \ {k}, i eN.
Сообщения в механизмах •) и g( •) связаны следующим образом:
s.
= v./(1 + Zv. ), j eK \ {k}, i eN,j*k
S,i = 1 /(1 + Zv. ), i eN.
j* k
Vjj = Sij/Sn, i eN, j eK.
Сообщения (7), (8) уже удовлетворяют условию нормировки для любых сообщений {v. > 0}.
Относительно механизмов п(-) и g(-) будем предполагать, что вектор-функции я(-) и g(-):
непрерывны по всем переменным;
удовлетворяют условию единогласия: если для некоторого j eK для всех i eN выполнено s. = a. (v. = aj), то nj(s) = a. (gj(s) = a) Другими словами, если все агенты сообщают одну и ту же оценку приоритета некоторого критерия, то итоговый приоритет этого критерия должен равняться данной оценке.
анонимны, то есть, симметричны относительно перестановок агентов.
сепарабельны, то есть
n(s) = ф. Sj ..., s„j), j eK;
gj(v) = gj(v1p v2j vnj), j eK;
монотонны, то есть TT/(S) не убывает по s., а g.(v) не убывает по vij, j e K, i e N.
Кроме того, будем предполагать, что п(-) удовлетворяет условию нормировки: Vs nj(s) >0, j e K, Z nj (s) = 1.
jeK
Частным является случай, в котором агрегированный критерий эффективности определяется "усреднением" оценок, сообщенных агентами:
n(s) = -YSj, j eK,
n ieN
что приводит, например, к линейному агрегированному критерию.
FL(x, s) = (s)xj .
jeK
Отметим, что процедура (10) удовлетворяет требованиям 1-5. Опишем теперь предпочтения агентов. Будем считать, что каждый агент заинтересован в том, чтобы итоговое значение приоритетов критериев было как можно ближе к его субъективному мнению. Тогда предпочтения агентов (напомним, что рациональные агенты стремятся максимизировать свои целевые функции [66]) можно описать однопиковыми [118, 128, 150, 157] действительнозначными функциями fj(n(s), ri) (соответственно, f(g(v), wi)), возрастающими по мере приближения n(s) к r^ (соответственно, g;(v) к Wj), j e K, i e N. Примерами могут служить
f(ns), r) = - YI П (s) - Г^ |, i eN,
jeK
или
f(ns), r) = - IY (n (s) - rj )2 , i eN.
\ jeK
Имея целевые функции и множества допустимых действий (сообщений) агентов, и считая, что они сообщают центру информацию однократно, одновременно и независимо (при условии, что предпочтения агентов являются общим знанием между ними), можно анализировать игру агентов [66].
Вектор равновесных по Нэшу сообщений агентов s (соответственно, v ) будет зависеть от их истинных мнений r (соответственно, w), то есть в общем случае
s*(r) = (s1*(r), s2*(r), ..., s„*(r)), v*(w) = (v*(w), V2*(w), ..., V*(w)).
Обозначим соответствующие механизмам п(-) и g(-) прямые механизмы hJr): (Ak)n -Ak, hjf) = n(s*(r)) и
hg(w): (Ш +-1)n — Ш +-1, hg(w) = g(v*(w)), где идеальные точки {Г,.} и {w.j} связаны соотношениями (7)-(9).
В случае k = 2 однопиковые сепарабельные предпочтения агента на Ak порождают однопиковые сепарабельные предпочтения на Ш + 1, и наоборот.
В случае k >3 это уже не так. Кроме того, так как, несмотря на то, что каждый из механизмов п(-) и g(-) предполагается сепарабельным, процедуры (7)-(9) «пересчета» весов критериев уже не сепарабельны, поэтому будем исследовать механизмы по отдельности.Рассмотрим последовательно ряд случаев.
Случай 1 (k = 2, n >1).
В этом случае легко показать, что механизмы •) и g( •) являются манипулируемыми. Построим для них соответствующие прямые механизмы. Начнем с анализа примера для механизма п(-).
Пример 1. Рассмотрим сначала частный случай, когда: имеется два критерия и используется линейная процедура (10).
Обозначим sn = pu тогда si2 = 1 -pu pt e[0, 1] - сообщаемая i- ым агентом оценка приоритета первого критерия, i e N.
Получаем: n(s) = — ZРг , n(s) = — Z (1 - Pi) = 1 - n(s).
n ieN n ieN
Приведем пример. Обозначимp = p p2).
Пусть n = 2. Запишем функции наилучших ответов агентов: BRi(p3_l) = {2 Гц -p3-i} п [0; 1], i = 1, 2. Так как прямые наилучших ответов агентов не пересекаются, то не существует равновесия Нэша, лежащего строго внутри квадрата [0; 1]2.
Пусть для определенности rn < r2i (если rn = r21, то агентам в силу условия единогласия выгодно сообщение достоверной информации). Тогда возможны три случая.
1. rn < r2i < 1/2. Тогда равновесием Нэша является следующий вектор сообщений - s (rn, r21) = (0; 2 r21), что приводит к
n1(s (ru, r2i)) = r21, то есть "диктатором" [118] является второй агент.
r11 < 1/2 < r21. Тогда равновесием Нэша является следующий вектор сообщений - s (r11, r21) = (0; 1), что приводит к n1(s (r11, r21)) = 1/2, то есть "диктаторы" отсутствуют.
1/2 < r11 < r21. Тогда равновесием Нэша является следующий вектор сообщений - s (r11, r21) = (2 r11 - 1; 1), что приводит к n(s (r11, r21)) = r11, то есть "диктатором" является первый агент.
Видно, что при несовпадающих интересах агентов (r11 ^r21) сообщение достоверной информации не является равновесием Нэша игры агентов.
Тем не менее, в данном случае возможно построение эквивалентного прямого механизма (то есть такой процедуры, в которой агентам выгодно сообщать достоверную информацию о своих предпочтениях, и которая приводит к тому же итоговому решению, что и исходная процедура [118, 128]).
Эквивалентный прямой механизм имеет следующий вид.
Центр спрашивает агентов об их представлениях о приоритетах критериев, обещая использовать процедуру вычисления равновесия в соответствии с приведенными выше тремя случаями. Легко убедиться, что каждому из агентов выгодно сообщать в этом механизме достоверную информацию. •Отметив сходство описываемой модели с механизмами экспертизы [41, 118, 128, 151, 157], перейдем к рассмотрению более общего случая. А именно, предположим, что процедура п(') принятия решений удовлетворяет требованиям 1-5, имеются два критерия, а целевые функции агентов fi(n1(p), п2(П), ri1t ri2) являются однопиковыми (примерами являются (12) и (13)) по переменным П, п2 с точками пика, соответственно, ri1 и ri2.
По аналогии с механизмами экспертизы [41, 118, 128] исследуем структуру равновесия Нэша игры агентов. Для этого вычис-
С Л
i = 0, n .
лим (n + 1) число: zi
о. 0, ..., 0, о^з
i n - i J
При этом z0 = 1 > z1 > z2 > ... > zn = 0.
Центр может попросить агентов сообщить истинные значения {ri1}i е N и использовать их следующим образом (эквивалентный прямой механизм): упорядочить агентов в порядке возрастания их сообщений; если существует число q е 2, n, такое, что zq1 >rq-1,1; zq * Я * * Г\ * Можно показать, что если л1 > ri1, то pi = 0, если л1 < ri1, то * 1 тч /Л * 1 * * pt = 1. Если же 0 < pt < 1, то л1 = ri1. При этом если л1 = rq1, то Vj < q Pj * = 0, Vj > q p * = 1, а величина p* определяет- С Л ся из условия П = V 0,0, ...,0, p*,0,1,...,1 q-1 n-q J Таким образом, для определения ситуации равновесия достаточно найти номер q. Если zi По аналогии с рассмотренным выше примером можно показать, что сообщение достоверной информации (pi = rn)i eN является равновесием Нэша игры агентов. Таким образом, обоснована справедливость следующего утверждения. Утверждение 1. Механизм Ип(-) = min (zq-1, rq1) является нема- нипулируемым. Таким образом, механизм принятия решений об относительной важности двух критериев отличается от классического механизма активной экспертизы наличием "второго критерия". Однако его присутствие (в силу условия нормировки) не меняет результата - при удалении (приближении) равновесия от точки пика по первому критерию, равновесие "автоматически" удаляется (приближается) к точке пика по второму критерию. Рассмотрим теперь механизм hg(-) для первого случая. Обо-значим q1 = arg max {w!7}, q2 = arg max {wi2}, где w - совокуп- ie N ie N ность идеальных точек всех агентов. Отметим, что, хотя механизм hg(-) является неманипулируе- мым, равновесие в общем случае зависит от того, какой критерий выбран в качестве базового (см. также пример 2). Пример 2. Пусть r11 = 1/3;, r12 = 2/3, r21 = 3/4, r22 = 1/4, n(s) = (S1j + S2j) / 2, gj(v) = (V1j + V2j) / 2, j = 1,2. Тогда wn = 1/2, W12 = 1, W21 = 3, W22 = 1. Если в механизме п(-) все агенты говорят правду, то n(r) = (13/24, 11/24). Механизм hn(-) обеспечивает сообщение достоверной информации и дает в равновесии hn(r) = (1/2, 1/2). Если в механизме g(-) все агенты говорят правду, то g(r) = (7/4, 1). Механизм hg() обеспечивает сообщение достоверной информации и дает в равновесии, если базовым выбран первый критерий - hg(r) = (1/3, 2/3), если второй - hg(r) = (3/4, 1/4). Три механизма (для каждого из которых существует эквивалентный прямой (неманипулируемый) механизм), которые, казалось бы, в соответствии с (7)-(9) «однозначно связаны», приводят к трем различным исходам, что свидетельствует о том, что выбор механизма агрегирования мнений агентов о приоритетах критериев следует производить чрезвычайно вдумчиво и осторожно, учитывая возможные последствия манипулирования. • Обозначим qj = arg max {Wj},j eK. ie N Утверждение 2. В механизме hg( •) равновесие имеет следующий вид: * f°, i * q, v* (W) = 1 V (r), i = q/j eK \ {k}, где vqj (w) таково, что gj(0, 0, ..., 0, vq ¦) = wqj., j eK \ {k}. При этом hgj(w) = gj(v*(w)) = WqjJ, j eK \ {k}. Справедливость утверждения 2 следует из подстановки (10) в (1) с учетом свойств 1-5 механизма g(). Содержательно утверждение означает, что приоритет каждого критерия определяется мне-нием агента, считающего данный критерий наиболее важным. Этого агента, следуя традиции [26, 105], назовем «диктатором». Следствие. Механизм hg(), определяемый (15), является нема- нипулируемым. Для механизма hj(-) можно привести пример, показывающий его манипулируемость в случае, если число критериев больше либо равно трем. Агрегируем полученные в настоящем разделе результаты в виде следующей теоремы. Теорема. а) Для механизма g() принятия решений об относительной важности критериев, удовлетворяющего предположениям 1-5, существует эквивалентный прямой (неманипулируемый) механизм (15). б) Для механизма п() принятия решений об относительной важности двух критериев, удовлетворяющего предположениям 1-5, существует эквивалентный прямой (неманипулируемый) механизм. Таким образом, в настоящем разделе предложена модель, позволяющая оценивать эффективности реализации различных портфелей проектов с точки зрения стратегических целей органи-зации, выражаемых группой заинтересованных лиц. Описаны процедуры согласования интересов этих лиц и исследованы эффекты манипулирования ими информацией.