Уравнение динамики валютного курса

Итак, мы знаем, что согласно UIP в каждый момент времени разность ставок процента равна ожидаемому в будущем изменению валютного курса:

it- i* =Aste+i = ste+i - st (10)

Разность ставок it - i* в каждый момент времени будет зависеть от ожидаемого в будущем

валютного курса ste+1 .

Подставив (10) в (9) получаем:

st = Zt +а2 • (<-1 - st ) = Zt а2 • st +а2 • <+1

Выразив текущий валютный курс st мы получили основное уравнение динамики валютного курса (11):

st = +а.

1 + а2 1 + а2

Чтобы решить уравнение (11) необходимо предложить схему формирования ожиданий валютного курса. Будем считать, что агенты рациональны и формируют свои ожидания по рациональной схеме.

Немного о рациональных ожиданиях

Так как динамика фундаментальных факторов является стохастической, то будущий валютный курс агентам не известен. Поэтому основная формулировка гипотезы рациональных ожиданий (ГРО) для дискретного стохастического случая будет иметь вид:

slt+j - E(st+j | Qt) (12)

где Qt - массив информации, доступный агенту в момент времени t.

То есть субъективные ожидания агентов s®t+j будут равны объективному математическому ожиданию валютного курса st+J на основе информации, доступной в момент времени t QT. Обозначив E(st+J | Qt) = Etst+J, перепишем это условие в виде:

st®t+1 = Etst+1 (12а) Соответственно, подставив это уравнение в (11), перепишем основное уравнение динамики валютного курса:

z а

st = —^ + —^ • Etst+1 (11а)

1 + а2 1 + а2

Для начала найдем рациональное решение уравнения (11а) - фундаментальный валютный

курс.

Решение уравнения динамики

Чтобы решить уравнение (11а) необходимо заглянуть в будущее, и найти валютный курс для t +1 периода:

s - Zt+1 + а • - Zt+1 • e s (13)

Jt+1 _ ^ Jt+1,t+2 _ л ^ л ^t+1^t +2

1 + а2 1 + а2 1 + а2 1 + а2

В (11а) нам необходимо знать условное математическое ожидание st+1 на основе текущего массива информации Qt : Etzt+i

a

a

• E se

^t^t+1,t +2

• Et (Et+1 st+2)

(14)

+ -

+ ¦

1 + a2 1 + a2

Es. ,i = EtZt+1

jt t+i

1 + a2 1 + a2 По закону итеративных ожиданий:

Et (Et+1st+2) = Etst+2

Следовательно (14) можно переписать: a

t t+1

(14а)

Ez

• Etst+2

+ -

Et s t, i —

1 + a2 1 + a2 Подставив (14а) в (11а), получим зависимость текущего валютного курса от динамики fundamentals в ближайшие 2 периода:

2 V 1 + a2 J

st =

- + -

• EtSt+2

a2

Z

(15)

a2 Если проделать такую же операцию для валютного курса в период t + 2 и подставить результат в (15), а затем для t + 3, t + 4 и так далее, то можно записать результат такого рекуррентного процесса на n -ном шаге: V 1 + a2 J

V 1 +a2 J

1 + a

st =

• E s

t t+n+1

• EtZt+J +

(16)

¦I

2 j—0

a2

a2

1

n

f

f

j

Текущий валютный курс зависит не только от текущих фундаментальных факторов (денежная масса и реальный выпуск), но также и от ожиданий агентов относительно значений этих факторов во все будущие периоды времени.

Если мысленно продолжить процедуру подстановки до n ^ w, то получится соотношение (17), характеризующее решение динамического уравнения (11а):

n V 1 + a2 J

V 1 + a2 J

1 + a

st =

• E s

t t+n+1

(17)

• EtZt + J + lim

•I

2 j —0

a

a

1

Математически (17) представляет собой общее решение уравнения (11а).