Премия за риск и частное равновесие на рынке финансовых активов
Портфельный выбор, рыночное равновесие и премия за риск
В финансовой теории данный раздел является давно изученной областью, поэтому применим знания, которые были накоплены в финансовой науке к проблеме выбора инвестора между отечественными и иностранными активами.
Выбор оптимального портфеля инвестором
Итак, рассмотрим двухпериодный мир.
В этом мире формирует оптимальный портфель некоторый инвестор. Пусть инвестор может вкладывать свои средства в отечественные и иностранные активы. Оба типа активов в будущем обеспечат инвестору получение некоторой реальной доходности, которая является случайной величиной. Доходности некоторым образом связаны друг с другом. Инвестор имеет некоторые предпочтения относительно доходности и рискованности. Видим, что постановка проблемы соответствует достаточно стандартной задаче портфельного анализа. Сформулируем ее. Обозначим:r - реальная доходность отечественных активов
*
r - реальная доходность иностранных активов
w0 - первоначальный уровень реального богатства инвестора
x - доля иностранных активов в портфеле инвестора. Тогда величина богатства к концу периода составит:
Wj = w0 • (1 + r • (1 - x) + r* • x) = w0 • (1 + r + x • (r* - r)) (1)
Тогда величина богатства к концу периода составит:
w1 = w0 • (1 + r • (1 - x) + r * • x) = w0 • (1 + r + x • (r * - r)) (1)
Пусть инвестор имеет предпочтения следующего вида:
U = U(Ewx,v2W) где U1 > 0,U2 < 0 (2)
Математическое ожидание и дисперсия богатства на конец периода составят: Ew1 = w0 • (1 + Er) + x • w0 • (Er * - Er)
vl = w02 • [(1 - x)2 • vr2 + x2 • v2 + 2 • x • (1 - x) • cov(r,r*)]
Найдем оптимальную для инвестора долю вложения в иностранные активы. Для этого максимизируем (2) по x :
dU
= U1 • w0 • (Er * - Er) + U2 • w02 • [2 x • (v2r +v2, - 2cov(r, r *)) - 2vr2 + 2cov(r, r *)] = 0
dx r
Обозначим:
a2 = v2r +v2 - 2cov(r,r*) - дисперсия разности доходностей ценных бумаг.
U • w0 = U—~ " коэффициент отвержения риска.
Er - Er _ „ 2 2
Тогда условие максимума перепишется:
0
иностранные активы, как:
= 2• [x•a2 -v2 + cov(r,r*)], откуда выразим оптимальную долю вложения в
Er - Er
x=(3)
ст2 cov(r r*)
где x = —r — доля иностранных ценных бумаг в портфеле, который имел бы
ст2
минимальный риск (впервые показал Kouri (1978)). Действительно, если найти минимум дисперсии богатства, то результат минимизации
min ст1 будет x = xmv.
x
Таким образом, в соотношении (3) первое слагаемое правой части покажет спекулятивную компоненту портфеля, связанную с тем, что доходности ценных бумаг не равны, а второе слагаемое покажет долю бумаг в портфеле с минимальным риском.
Доля xmv не будет зависеть от отношения инвестора к риску, а будет зависеть только от рисковых характеристик самих бумаг. Спекулятивная же доля будет зависеть от разности ожидаемых доходностей бумаг (Er * - Er), риска получения данной разности ст2 и степени отвержения риска инвестора 0 .
Также не трудно показать, что, так как сумма долей бумаг в портфеле с минимальным риском составляет единицу, то сумма спекулятивных долей в портфеле будет равна нулю, то есть доля
отечественных бумаг в оптимальном портфеле составит: (1 - x) = - E ^ + (1 - xmv) .
20 • ст
Процедура определения оптимального портфеля может быть условно разделена на 2 части: сначала инвесторы формируют портфель с минимальным риском, а затем добавляют в него тех активов, которые гарантируют более высокую доходность, продавая часть бумаг, приносящих меньшую доходность. Конкретная величина спекулятивной поправки будет зависеть от перечисленных выше факторов.
Равновесие на рынке финансовых активов
Оптимальная доля иностранных бумаг (3) индивидуальна для каждого инвестора, так как каждый инвестор, хотя и обладает одинаковой информацией (в данной модели), но имеет разные характеристики отвержения риска и разные величины портфеля.
Чтобы найти равновесную доходность ценных бумаг на рынке необходимо просуммировать спрос всех агентов рынка.
Пусть Wj - это номинальное богатство j того инвестора, а x}- - оптимальная для j того
инвестора доля вложения в иностранные активы.
Тогда спрос j того инвестора на иностранныеактивы составит: Bj = xj • Wj. Суммарный спрос на рынке составит: Bj = ^Bj = ^ x . • Wj .
j=1 j=1
Считаем, что количество иностранных активов (как и отечественных) экзогенно и составляет V *. В равновесии спрос равен предложению:
N
г*
V * = i *j • W (4)
j=1
* ^ Er * - Er
Подставив (3) в (4) получим: V = i ( + xmv) • Wj (4а)
i=1 20j с
Наконец, обозначив:
N
W = - совокупное богатство инвесторов двух стран
j=1
0 = W WW" - отношение к риску среднего агента группы.
i—
i=101
Тогда с учетом введенных обозначений имеем:
Er * — Er *
("20^ + Xmv) • W = V* (5)
Уравнение (5) нужно решать относительно разности ожидаемых реальных доходностей, так как именно с помощью нее устанавливается равновесие на рынке финансовых активов:
*
.2 V
Er — Er = 20 • a • W " Xmv ] (6)
Разность ожидаемых реальных доходностей зависит от трех основных параметров:
Чем выше степень отвержения риска 0 среди инвесторов, тем выше данная разность.
Чем выше рискованность получения дополнительной доходности на разности
(Er* — Er) , тем выше данная разность.
Чем больше превышение доли иностранных ценных бумаг в общем богатстве
инвесторов над долей иностранных активов в портфеле с минимальным риском W
xmv , тем больше разновесная разность реальных доходностей.
Объяснить влияние данных факторов можно следующим образом. Чем больше ценных бумаг выпускает правительство, чем больше страна пытается занять на мировом финансовом рынке, тем большую доходность приходится ей платить тем инвесторам, которые согласятся держать ценные бумаги такой страны. Высокая доходность - это компенсация инвесторам за неоптимальный с точки зрения риска портфель, который они держат, покупая ценные бумаги такой страны. Чем выше рискованность получения данной доходности, тем большую величину дополнительной доходности будут требовать инвесторы. Кроме того, чем больше инвесторы не любят риск, тем больше должна быть компенсация в виде повышенной доходности за тот же риск, который инвесторы вынуждены принять на себя.