§ 9. СООТНОШЕНИЕ ФОРВАРДНОЙ И ФЬЮЧЕРСНОЙ ЦЕНЫ

В главе I мы рассмотрели технику определения форвардной цены. В отношении фьючерсной цены можно сказать, что в целом ее следует принимать равной форвардной цене. Как показали ис­следования, в которых сравнивались форвардные и фьючерсные
рынки на различные активы, форвардные и фьючерсные цены на ряд инструментов, например на валюту, отличались незначитель­но, для других инструментов, например серебра, казначейских векселей, отмечались существенные расхождения в ценах, причем фьючерсные цены превышали форвардные. Отличия в ценах могут привноситься различными факторами, которые непосредственно связаны с принятием решения относительно выбора форвардного или фьючерсного контракта, к ним, в частности, относятся такие условия, как налоговые ставки, комиссионные, ликвидность контрактов, гарантийные платежи и т.п., которые не учтены в рассмотренных выше моделях определения форвардной цены.

Определение точной фьючерсной цены усложняется еще вслед­ствие того, что лицо, которое занимает короткую позицию, как правило, имеет возможность выбора срока поставки в рамках от­веденного для этого времени. Инвестор может поставить инстру­мент в начале, середине или конце месяца поставки. Соответственно для каждого случая будут возникать различные фьючерсные цены. Момент же поставки зависит от того, когда инвестору выгодно поставить данный актив. В общем виде можно сформулировать следующее правило. Если значение фьючерсной цены является возрастающей функцией от значения Т, то вклад­чику выгодно поставить инструмент в начале периода поставки, поскольку он сможет инвестировать полученные по контракту средства под более высокий процент, чем он получает от владения данным инструментом. Если фьючерсная цена является убываю­щей функцией от времени Т, то инвестор будет стремиться поста­вить инструмент в последний день периода поставки, поскольку владение данным активом приносит ему более высокий доход, чем тот, который он сможет получить от реинвестирования получен­ных по контракту денежных средств. В связи с этим расчет фью­черсной цены в первом случае следует производить, ориентируясь на начало периода поставки, во втором — на конец периода. Поясним приведенное правило на примере одной из выведенных выше формул — формулы для акции с известной ставкой диви­денда:

F = Se(r - q )T

Как следует из формулы, фьючерсная цена является возрастаю­щей функцией, если r > q, то есть в этом случае инвестор может получить более высокий доход (ставку без риска) от инвестирова­ния денег, полученных за акции, по сравнению с размером диви­денда, который приносит ему владение акцией. Функция является

убывающей, если r < q. Это значит, что вкладчик получает более высокий доход от владения данной бумагой по сравнению с инве­стированием полученных по контракту средств под ставку без ри­ска.

С теоретической точки зрения отметим еще следующие зависи­мости.

I. Если форвардный и фьючерсный контракты имеют одинако­вую дату истечения, а ставка без риска постоянна и одинакова для любых периодов времени, то форвардная и фьючерсная цены дол­жны быть равны. Приведем доказательство данного соотношения, которое предложили Дж.Кокс, Дж.Интерсол и С.Росс. Для рас­сматриваемой модели введем следующие обозначения: п — число дней в рассматриваемом периоде;

Fi — фьючерсная цена в конце i-го дня (0< i < п); о — ставка без риска в расчете на один день (постоянная для всего периода времени);

Р — цена финансового инструмента в конце дня п\ f— форвардная цена.

Fn есть не что иное, как цена спот финансового инструмента на дату истечения фьючерсных контрактов, поскольку в этот момент фьючерсная цена равна цене спот. Поэтому можно записать:

Предположим, что инвестор строит следующую стратегию. Пе­ред началом нашего периода, то есть в конце дня 0, от открывает длинную позицию по фьючерсным контрактам, заключив их в количестве е°. В конце первого дня он открывает еще е2 длинных контрактов. В конце второго дня еще е а длинных контрактов и так далее до ens контрактов в конце дня (п -1). По открытым контрак­там в конце каждого дня он имеет выигрыш или потери в размере:

Предположим теперь, что одновременно с заключением перво­го фьючерсного контракта инвестор приобрел облигацию с нуле­вым купоном по цене F0 под процента на период времени п. Тогда общий финансовый результат от его действий к концу периода равен:

Поскольку заключение фьючерсного контракта не требует ка­ких-либо первоначальных инвестиций, то полученный результат есть итог инвестирования в начале периода суммы, равной Fq.

Рассмотрим теперь другую стратегию. Инвестор в конце дня О занимает длинную позицию по еш форвардным контрактам. Фор­вардная цена в этот момент равна f0. Одновременно он приобретает по цене f0 под процент а на n дней облигацию с нулевым купоном. К концу периода финансовый результат по данной стратегии со­ставит:

Поскольку конечные результаты двух стратегий равны, то при отсутствии возможностей для арбитражных операций начальные инвестиции также должны быть одинаковыми, то есть

Другими словами, при неизменной и постоянной ставке без риска форвардная и фьючерсная цены контрактов, имеющих оди­наковую дату поставки, будут одинаковыми.

II. Ситуация усложняется, если процентные ставки на рынке меняются, и их нельзя точно предсказать. Для настоящего изложе­ния ограничимся двумя случаями: а) цена инструмента, лежащего в основе контракта, имеет сильную положительную корреляцию в отношении изменения процентной ставки. Для такой ситуации при прочих равных условиях приобретение фьючерсного контрак­та более желательно. Данный вывод можно сделать на основе следующих рассуждений. При повышении цены инструмента вкладчик получает прибыль по фьючерсному контракту, которую, в силу отмеченной положительной корреляции, он имеет возмож­ность реинвестировать под более высокий, чем средний существу­ющий на рынке процент. При понижении цены инструмента он несет потери, которые рефинансируются уже под более низкий процент. Форвардная сделка лишена таких преимуществ, посколь­ку все взаиморасчеты между контрагентами осуществляются толь­ко по истечении контракта. Следовательно, для такой ситуации фьючерсная цена должна превышать форвардную; б) цена инстру­мента имеет сильную отрицательную корреляцию с процентной
ставкой. В этом случае наблюдается обратная картина. При пол­учении инвестором прибыли он может реинвестировать ее под более низкий, чем средний существующий процент. При потерях он будет рефинансировать свою позицию под более высокий про­цент. Форвардная сделка освобождает инвестора отданных недо­статков, так как взаиморасчеты осуществляются по истечении срока действия контракта. Поэтому при прочих равных условиях форвардная цена должна быть выше фьючерсной.