§ 9. СООТНОШЕНИЕ ФОРВАРДНОЙ И ФЬЮЧЕРСНОЙ ЦЕНЫ
В главе I мы рассмотрели технику определения форвардной цены. В отношении фьючерсной цены можно сказать, что в целом ее следует принимать равной форвардной цене. Как показали исследования, в которых сравнивались форвардные и фьючерсные
рынки на различные активы, форвардные и фьючерсные цены на ряд инструментов, например на валюту, отличались незначительно, для других инструментов, например серебра, казначейских векселей, отмечались существенные расхождения в ценах, причем фьючерсные цены превышали форвардные.
Отличия в ценах могут привноситься различными факторами, которые непосредственно связаны с принятием решения относительно выбора форвардного или фьючерсного контракта, к ним, в частности, относятся такие условия, как налоговые ставки, комиссионные, ликвидность контрактов, гарантийные платежи и т.п., которые не учтены в рассмотренных выше моделях определения форвардной цены.Определение точной фьючерсной цены усложняется еще вследствие того, что лицо, которое занимает короткую позицию, как правило, имеет возможность выбора срока поставки в рамках отведенного для этого времени. Инвестор может поставить инструмент в начале, середине или конце месяца поставки. Соответственно для каждого случая будут возникать различные фьючерсные цены. Момент же поставки зависит от того, когда инвестору выгодно поставить данный актив. В общем виде можно сформулировать следующее правило. Если значение фьючерсной цены является возрастающей функцией от значения Т, то вкладчику выгодно поставить инструмент в начале периода поставки, поскольку он сможет инвестировать полученные по контракту средства под более высокий процент, чем он получает от владения данным инструментом. Если фьючерсная цена является убывающей функцией от времени Т, то инвестор будет стремиться поставить инструмент в последний день периода поставки, поскольку владение данным активом приносит ему более высокий доход, чем тот, который он сможет получить от реинвестирования полученных по контракту денежных средств.
В связи с этим расчет фьючерсной цены в первом случае следует производить, ориентируясь на начало периода поставки, во втором — на конец периода. Поясним приведенное правило на примере одной из выведенных выше формул — формулы для акции с известной ставкой дивиденда:F = Se(r - q )T
Как следует из формулы, фьючерсная цена является возрастающей функцией, если r > q, то есть в этом случае инвестор может получить более высокий доход (ставку без риска) от инвестирования денег, полученных за акции, по сравнению с размером дивиденда, который приносит ему владение акцией. Функция является
убывающей, если r < q. Это значит, что вкладчик получает более высокий доход от владения данной бумагой по сравнению с инвестированием полученных по контракту средств под ставку без риска.
С теоретической точки зрения отметим еще следующие зависимости.
I. Если форвардный и фьючерсный контракты имеют одинаковую дату истечения, а ставка без риска постоянна и одинакова для любых периодов времени, то форвардная и фьючерсная цены должны быть равны. Приведем доказательство данного соотношения, которое предложили Дж.Кокс, Дж.Интерсол и С.Росс. Для рассматриваемой модели введем следующие обозначения: п — число дней в рассматриваемом периоде;
Fi — фьючерсная цена в конце i-го дня (0< i < п); о — ставка без риска в расчете на один день (постоянная для всего периода времени);
Р — цена финансового инструмента в конце дня п\ f— форвардная цена.
 |
| Полученный результат реинвестируется под ставку без риска до конца дня л, то есть
В конце дня п инвестор будет иметь следующий результат от данной стратегии: |
 Fn есть не что иное, как цена спот финансового инструмента на дату истечения фьючерсных контрактов, поскольку в этот момент фьючерсная цена равна цене спот. Поэтому можно записать: |
 |
Предположим, что инвестор строит следующую стратегию.
Перед началом нашего периода, то есть в конце дня 0, от открывает длинную позицию по фьючерсным контрактам, заключив их в количестве е°. В конце первого дня он открывает еще е2 длинных контрактов. В конце второго дня еще е а длинных контрактов и так далее до ens контрактов в конце дня (п -1). По открытым контрактам в конце каждого дня он имеет выигрыш или потери в размере:Предположим теперь, что одновременно с заключением первого фьючерсного контракта инвестор приобрел облигацию с нулевым купоном по цене F0 под процента на период времени п. Тогда общий финансовый результат от его действий к концу периода равен:
 |
Поскольку заключение фьючерсного контракта не требует каких-либо первоначальных инвестиций, то полученный результат есть итог инвестирования в начале периода суммы, равной Fq.
Рассмотрим теперь другую стратегию. Инвестор в конце дня О занимает длинную позицию по еш форвардным контрактам. Форвардная цена в этот момент равна f0. Одновременно он приобретает по цене f0 под процент а на n дней облигацию с нулевым купоном. К концу периода финансовый результат по данной стратегии составит:
 |
Поскольку конечные результаты двух стратегий равны, то при отсутствии возможностей для арбитражных операций начальные инвестиции также должны быть одинаковыми, то есть
 |
Другими словами, при неизменной и постоянной ставке без риска форвардная и фьючерсная цены контрактов, имеющих одинаковую дату поставки, будут одинаковыми.
II. Ситуация усложняется, если процентные ставки на рынке меняются, и их нельзя точно предсказать.
Для настоящего изложения ограничимся двумя случаями: а) цена инструмента, лежащего в основе контракта, имеет сильную положительную корреляцию в отношении изменения процентной ставки. Для такой ситуации при прочих равных условиях приобретение фьючерсного контракта более желательно. Данный вывод можно сделать на основе следующих рассуждений. При повышении цены инструмента вкладчик получает прибыль по фьючерсному контракту, которую, в силу отмеченной положительной корреляции, он имеет возможность реинвестировать под более высокий, чем средний существующий на рынке процент. При понижении цены инструмента он несет потери, которые рефинансируются уже под более низкий процент. Форвардная сделка лишена таких преимуществ, поскольку все взаиморасчеты между контрагентами осуществляются только по истечении контракта. Следовательно, для такой ситуации фьючерсная цена должна превышать форвардную; б) цена инструмента имеет сильную отрицательную корреляцию с процентнойставкой. В этом случае наблюдается обратная картина. При получении инвестором прибыли он может реинвестировать ее под более низкий, чем средний существующий процент. При потерях он будет рефинансировать свою позицию под более высокий процент. Форвардная сделка освобождает инвестора отданных недостатков, так как взаиморасчеты осуществляются по истечении срока действия контракта. Поэтому при прочих равных условиях форвардная цена должна быть выше фьючерсной.