§ 29. ПАРИТЕТ И ВЗАИМОСВЯЗЬ ОПЦИОНОВ

а) Паритет европейских опционов пут и колл душ акций, не выплачивающих дивиденды

Определим взаимосвязь между рє и се, которая носит название паритета опционов пут и колл. Значение паритета состоит в том, что, приравнивая друг к другу опционы пут и колл, имеющие одинаковые цены исполнения и сроки истечения контрактов, можно, зная, например, величину премии опциона пут, опреде­лить цену опциона колл и наоборот.

Предположим, имеется два портфеля — А и Б. Портфель А состоит из одного европейского опциона колл и облигации с ну­левым купоном, равной Xe~r. В портфель Б входит один европей­ский опцион пут и одна акция. Если к моменту истечения контракта Р > X, то портфель А равен Р и портфель Б также равен Р. Если Р < X, то портфели А и Б равны X. Таким образом, в конце периода T оба портфеля имеют одинаковую стоимость. Поэтому можно сделать вывод, что в начале периода Т стоимость их также должна быть равна, то есть:

Указанное равенство носит название паритета опционов пут и колл.

Пример. S = 42 долл., Х=40долл., r — 10%, срок контрактов — 3 месяца, се =3,5 долл. Определить стоимость pe.

Она равна:

следующую арбитражную операцию. Арбитражер покупает евро­пейский опцион колл и продает европейский опцион пут и акцию, заняв ее у брокера.

-3,5 долл. + 1 долл. + 42 долл. = 39,5 долл.

и инвестируетее под ставку без риска на три месяца:

39,5 долл. е°'1х0'25 = 40,5 долл.

Если по окончании срока контрактов Р> 40 долл., то арбитражер исполнит опцион колл, то есть купит акцию за 40 долл. В этом случае его прибыль от данной операции составит:

40,5 долл. - 40 долл. = 0,5 долл.

Если Р < 40 долл., то будет исполнен опцион пут. Арбитражер купит у контрагента акцию за 40 долл. и получит прибыль от операции в размере:

40,5 долл. — 40 долл. = 0,5 долл.

Допустим теперь, что цена опциона пут занижена и равна 0,2 долл. Тогда инвестор продает опцион колл и покупает опцион пут и акцию. Для этого он занимает под ставку без риска сумму в размере:

0,2 долл. + 42 долл.-3,5 долл. = 38,7 долл.

Через три месяца он должен вернуть кредитору сумму, равную:

ло 0,1x0,25 лл /го

38 долл.е = 39,68 долл.

При Р < 40 долл. арбитражер исполняет опцион пут и получает прибыль:

40 долл. -39,68 долл. = 0,32 долл.

При Р > 40 долл. контрагент исполняет опцион колл, то есть арбитражер продает ему акцию за 40 долл. Вновь его прибыль составит:

40 долл.-39,68 долл. = 0,32 долл.

б) взаимосвязь между премиями американских опционов пут и колл для акций, не выплачивающих дивиденды

Паритет существует только для европейских опционов пут и колл. В то же время можно установить определенную взаимосвязь между американскими опционами пут и колл.

Выше мы доказали, что ра >ре и ре +S = се+Хе~гТ.

Теперь сравним два портфеля — А и Б. Портфель А состоит из одного американского опциона пут и одной акции. В портфель Б входит один европейский опцион колл и облигация с нулевым купоном, равная X, эмитированная под процент er на период Т. Опционы имеют одинаковую цену исполнения и срок контрактов равен Т. Предположим, что опцион пут не исполняется раньше срока истечения контракта.

Если Р >X, исполняется опцион колл портфель Б равен (P -Х)+ХегТ . При Р < X портфель равен ХегТ Таким образом в обоих случаях портфель Б стоит больше портфеля А.

Предположим, что имеет место раннее (время t) исполнение американского опциона пут. Это означает, что Р < Х и портфель А равен X. Портфель Б в этот же момент стоит как минимум, если предположить, что са = 0, Xert. Таким образом, портфель Б вновь стоит больше портфеля А. Вышесказанное наглядно представлено в таблице 28.

Таблица 28

Таким образом, цена американского опциона пут должна быть не выше 3,5 долл. и не ниже 2,64 долл.

в) Паритет опционов для акций, выплачивающих дивиденды

Рассмотрим два портфеля. Портфель А состоит из одною евро­пейского опциона колл, облигации с нулевым купоном X е- и суммы денег D. В портфель Б входят один европейский опцион пут и одна акция. В конце периода T стоимость портфелей будет равна (см. табл. 29).

Таблица 29

Данное равенство представляет собой паритет опционов пут и колл, в основе которых лежат акции, выплачивающие дивиденды.

г) Взаимосвязь американских опционов пут и колл для акций, выплачивающих дивиденды

Рассмотрим портфели А и Б.

Выше мы записали, что для акций, не выплачивающих дивиден­ды, справедливы следующие условия:

Данные условия выдерживаются и для акций, выплачивающих дивиденды, поскольку выплата дивидендов уменьшает премию американского опциона колл и увеличивает премии американско­го опциона пут. В итоге взаимосвязь между американскими опци­онами пут и колл принимает следующий вид:

КРАТКИЕ ВЫВОДЫ

Опцион колл с более низкой ценой исполнения должен стоить дороже опциона с более высокой ценой исполнения. Опцион пут с более низкой ценой исполнения должен стоить дешевле опциона с более высокой ценой исполнения.

Цена американских опционов колл и пут возрастает по мере увеличения периода действия контрактов. Нельзя однозначно на­стаивать на данном утверждении применительно к европейским опционам. Выплата дохода на актив в течение действия европей­ского опциона может привести к тому, что опцион с более близкой датой истечения будет стоить дороже опциона с более отдаленной датой истечения.

Опцион на актив, цена которого имеет более высокое стандар­тное отклонение, должен стоить дороже опциона с меньшей вели­чиной стандартного отклонения.

Между ценами европейских опционов пут и кол на активы, выплачивающие и не выплачивающие доход, существуют паритет­ные отношения. Если условия паритета не выдерживаются, то открываются возможности для арбитражных операций.

Глава XL МОДЕЛИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕНЫ ОПЦИОНОВ

Настоящая глава посвящена проблеме определения премии опционных контрактов. Вначале мы остановимся на общем теоре­тическом подходе к расчету цены опциона, рассмотрим вопрос формирования портфеля без риска и оценки величины премии с помощью простой биноминальной модели. После этого перейдем к моделям, которые используются на практике, а именно, бино­минальной модели и модели Блэка-Сколеса для акций, выплачи­вающих и не выплачивающих дивиденды. В рамках модели Блэка-Сколеса остановимся на таких вопросах, как логнормаль­ное распределение и стандартное отклонение цены актива.