<<
>>

§ 32. БИНОМИНАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ АКЦИЙ, НЕ ВЫПЛАЧИВАЮЩИХ ДИВИДЕНДЫ

Весь период действия опционного контракта разбивается наряд интервалов времени, в течение каждого из которых курс акции S может пойти вверх с вероятностью p или вниз с вероятностью 1-р, как показано на рис.

56. В конце периода акция соответственно стоит Su или Sd, где и — процент прироста курсовой стоимости акций, поэтому и > 7, a d — процент падения курсовой стоимости, то есть d < 1.

Рассматривая динамику курса акций на каждом временном ин­тервале, можно построить дерево распределения цены акции для всего периода действия опционного контракта. Данная картина представлена на рис. 57. Начальная цена акции равна S. За первый период At1 ее курс может составить Su или Sd. За второй период At2 — соответственно Su2, Sd или Sud и т.д. для следующих периодов. В целях упрощения модели, поскольку период действия опционного контракта делится на большое число интервалов, де­лается допущение, что u=1/d , поэтому значения курса акций на

дереве распределения можно представить следующим образом (см. рис. 58).

Su

Рис.5б. Динамика курса акции для одного периода биномальной модели

Рис.5б. Дерево распределения цены акции

class="lazyload" data-src="/files/uch_group28/uch_pgroup99/uch_uch761/image/195.jpg">
Рис.57. Дерево распределения цены акции для четырех временных периодов
т

Как известно, к моменту истечения срока действия контракта цена опциона может принимать два значения, а именно, 0 или P-X для опциона колл.

и 0 или X-Р для опциона пут. Для того, чтобы рассчитать стоимость опциона в начале периода 7, необхо­димо определить стоимость опциона для начала каждого периода At , то есть в каждой точке пересечения ветвей дерева. Данную задачу решают последовательным дисконтированием. Так, извест­ную величину опциона в конце периода Т дисконтируют, чтобы получить ее значение в начале периода Atr Затем значение опци­она в начале периода A t4 дисконтируют и определяют его сто­имость в начале периода A t3 и т.д.

Биноминальная модель основывается на концепции формиро­вания портфеля без риска. Поэтому для дисконтирования прини­мается процент, равный ставке без риска для инвестиций, соответствующих времени действии опционного контракта. Для того, чтобы упростить модель, вместо указанной выше ставки ис­пользуем эквивалентную ей ставку непрерывно начисляемого процента.

В условиях отсутствия риска ожидаемый доход на акцию за период At должен составить Se г , где r — непрерывно начисля­емая ставка без риска. В то же время, исходя из значения матема­тического ожидания, он должен быть равен:

Таким образом

или

Из формулы (41) найдем p.

Процент прироста или падения курсовой стоимости акции за­висит от времени, в течение которого наблюдается изменение курса бумаги, и ее стандартного отклонения. Поэтому можно за­писать, что

Формула (42) позволяет определить вероятность повышения или понижения курса акций.

Пример. Курс акции в начале периода равен 40 долл., стандарт­ное отклонение цены акции 35%, непрерывно начисляемая ставка без риска 10%. Определить вероятность повышения и понижения курса акций через месяц.

Получаем

Таким образом, вероятность повышения курса акции через один месяц составляет 0,5163 и понижения 0,4837.

После того как мы рассчитали значения u и d, можно определить значение курса акции для любого периода времени. Предполо­жим, что инвестора интересуют возможные значения курса акций последовательно через один, два и три месяца, то есть для каждой точки пересечения ветвей дерева, представленного на рис. 58. Для точки Sd он равен Sd= 40 долл. х 0,9039 = 36,16 долл.

Для точки Sd Sd2 = 40 долл. х (0,9039)2 = 32,68 долл.

Для точки Su Su = 40 долл. х 1,1063 = 44,25 долл.

и т.д.

Значения курса акций представлены на дереве распределения (см. рис. 59).

После того как мы получили значения вероятности повышения я понижения курса акции и значения цены акции в конце каждого месяца, можно перейти к определению величины премии опцио­на.

Рис.59. Дерево распределения цены акции

Пример. Инвестор приобретает опцион пут на три месяца, курс акции в момент заключения контракта равен 40 долл., цена испол­нения 45 долл., непрерывно начисляемая ставка без риска — 10%, стандартное отклонение акции — 35%. Определить стоимость опциона.

з

Через три месяца в точке Su величина премии опциона будет равняться нулю. В точке Su = 45 долл - 44,25 долл., = 0,75 долл.

В точке Sd = 45 долл. - 36,16 долл. = 8,84 долл.

В точке Sd3 = 45 долл. -29,54 долл. = 14,46 долл.

Цена опциона в начале периода At3, то есть для точек Su2, S, Sd2 представляет собой дисконтированную стоимость его ожидаемой цены в конце этого периода и так далее для каждого предыдущего отрезка времени. Ожидаемое значение случайной величины опре­деляется как ее математическое ожидание. Поэтому цену опциона в начале периода At можно определить по формуле

цена опциона = (Мх) егАТ

где Мх — сумма произведения ожидаемых значений цены оп­циона в конце периода At на их вероятность. Найдем цену опциона в точке Su . Она равна:

(0,5163 х 0 + 0,4837 х 0,75) е-0'1х0'0833 = 0,36 долл.

Для точки S она составит:

(0,5163 х 0,75 + 0,4837 х 8,84) е-0'1х0'0833 = 4,62 долл. и т.д.

Цена опциона для каждой точки на дереве распределения пред­ставлена второй строкой на рис. 59. В итоге получаем — премия опциона в начале периода Гравна 5 долл.

Выше мы определили премию для европейского опциона пут. Рассмотрим теперь случай, когда инвестор покупает аналогичный по своим условиям американский опцион. Как известно, досроч­ное исполнение контракта может явиться оптимальным решени­ем. Поэтому для каждого момента времени (в нашей модели это конец каждого периода At) его цена должна быть не меньше, чем X - Р. Дерево распределения цены акции и премии американского опциона приведено на рис. 60. Рассмотрим цену опциона в точке Su ' Согласно расчету она составляет 0,36 долл. Однако в случае исполнения опциона в данный момент он будет стоить:

45 долл. — 48,96 долл. = -3,96 долл.

Естественно, что в этот момент времени исполнение опциона не является оптимальной стратегией и инвестору следует продать опцион или подождать еще некоторый период времени. Следова­тельно, его цена в указанной точке равна полученной расчетной величине, то есть 0,36 долл.

Рис.60. Дерево распределения премии американского опциона пут

Для точки S (начало периода At) расчетная цена равна 4,62 долл., однако в случае его исполнения в этот момент инвестор получит прибыль, которая составит:

45 долл. - 40 долл. = 5 долл.

Следовательно, при таком развитии событий американский оп­цион будет стоить не 4,62 долл, а 5 долл. и его оптимально испол­нить. Для точки Sd премия опциона должна быть не меньше чем:

45 долл. - 32,68 долл. = 12,32 долл.

Для точки Sd при немедленном исполнении опцион стоит:

45 долл. -36,1бдолл.= 8,84долл.

Его расчетная цена составляет:

(0,5163 х 5,0 + 0,4837 х 12,32) е-0'1х0'0833 =8,47 долл.

Следовательно, он должен стоить не меньше 8,84 долл.

В точке Su при немедленном исполнении опцион стоит:

45 долл. - 44,25 долл. = 0,75 долл.

Однако расчеты показывают, что в этом случае исполнение не является оптимальной стратегией и цена опциона должна соста­вить не 0,75 долл., а

(0,5163 х 0,36 + 0,4837 х 5,0) е-0'1х0'0833 = 2,58 долл

В итоге получаем — цена американского опциона пут в момент заключения контракта равна 5,56 долл.

Мы рассмотрели биноминальную модель оценки премии опци­она для акций, не выплачивающих дивиденды. В нашем примере весь период опционного контракта, который насчитывал три ме­сяца, был разбит на три периода. На практике для определения цены опциона период Т необходимо разбить на большее число периодов At. Обычно деление опционного контракта на 30-50 интервалов дает приемлемый результат.

<< | >>
Источник: Буренин А.Н.. Фьючерсные, форвардные и опционные рынки. — М.:Тривола,1994. — 232с.. 1994

Еще по теме § 32. БИНОМИНАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ АКЦИЙ, НЕ ВЫПЛАЧИВАЮЩИХ ДИВИДЕНДЫ:

  1. СОДЕРЖАНИЕ
  2. § 29. ПАРИТЕТ И ВЗАИМОСВЯЗЬ ОПЦИОНОВ
  3. § 32. БИНОМИНАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ АКЦИЙ, НЕ ВЫПЛАЧИВАЮЩИХ ДИВИДЕНДЫ
  4. § 33. БИНОМИНАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ АКЦИЙ, ВЫПЛАЧИВАЮЩИХ ДИВИДЕНДЫ