ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К ФОРМИРОВАНИЮ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ ФИНАНСОВЫХ ТИТУЛОВ

MИxhoВ.Н., Погорелова М.В.

Введение

В некоторых практических задачах портфельного анализа [1] адекватное представление компонент задачи обеспечивается следующими предположениями:

1) доходность портфеля финансовых титулов описывается вероятностной моделью в виде линейной комбинации двух нормальных распределений с различными дисперсиями и доходности отдельных титулов портфеля независимы;

2) вероятностные модели доходности каждого финансового титула могут быть представлены линейной комбинацией двух нормальных распределений с различными дисперсиями и эти доходности не являются независимыми.

Цель настоящей работы состоит в исследовании задачи формирования оптимального портфеля финансовых титулов с исполь­зованием в формулировке задачи предположения 1 и 2. В основу принципа оптимальности берется концепция ожидаемой полезности [2, 3].

Показывается, что в случае 1 решение задачи может быть найдено аналитически с использованием метода Лагранжа. В основу второго случая положено имитационное моделирование реализаций доходности портфеля.

Постановка задачи

Будем рассматривать однопериодные инвестиционные решения, и использовать следующие обозначения: п - количество финансовых титулов (акций, недвижимого имущества и т.п.), на множестве которых осуществляется формирование инвестиционного портфеля (распределение капиталовложений); x_i- доля капиталовложений в z-й финансовый титул в инвестиционном портфеле, /-I,..., П\ X- (Xi, ..., x_n) - вектор, определяющий структуру инвестиционного портфеля; r_i- ДОХОДНОСТЬ 7-ГО финансового титула, являющаяся случайной величиной с функцией V_i(r_i) плотности вероятностей; r_p(x) - ∑r_ix_i- доходность инвестиционного портфеля, являющаяся случайной величиной с функцией V(f)плотности вероятностей; M[rJ, var[rj - соответственно, математическое ожидание (ожидаемая доходность) и дисперсия доходности /-го финансового титула; M[r_p], ∖ar∣∕γ, | - ожидаемая доходность и ее дисперсия для инве­стиционного портфеля, соответственно.

Пусть далее u(r(x)) - функция полезности инвестора, которая отражает его предпочтения на доходности портфеля и не зависит от текущего благосостояния инвестора. Тогда согласно концепции ожидаемой полезности [2, 3], задача выбора оптимального для инвестора портфеля сводится к задаче на условный экстремум вида:

Для исследования и решения задачи (1) необходимо конкретизировать ее математическую модель в части функции полезности инвестора и распределения вероятностей для доходности инвестиционного портфеля. Именно указанные компоненты определяют в первую очередь степень адекватности задачи (1) реальным ситуациям выбора инвестиционных решений и обоснованности применения результатов ее решения на прак­тике. Заметим, что в классическом случае [1], когда функция полезности инвестора квадратичная или доходности финансовых титулов описаны нормальным распределением с приблизительно одинаковыми дисперси­ями, задача (1) обычно сводиться либо к задаче максимизации ожидаемой доходности при ограничениях на дисперсию, либо минимизации дисперсии (риска) при заданном уровне доходности [4]. Здесь рассматри­ваются отличные от указанных ситуаций условия. Рассмотрим конкретиза­цию указанных компонент для случаев 1 и 2 последовательно.

Случай статистической независимости доходностей финансовых титулов

Спецификацию функции полезности проведем, ориентируясь на наиболее характерное для практики поведение инвестора нерасположенность к риску. При этом для простоты будем рассматривать случай постоянной несклонности инвестора к риску. Известно [3], что класс стратегически эквивалентных функций полезности, отражающих указанный тип предпочтений, имеет вид

где а, b - вещественные параметры, определяющие шкалу измерения полезности, b > 0; с - вещественный параметр, определяющий степень нерасположенности инвестора к риску, с > 0.

Спецификацию функции плотности вероятностей для доходности портфеля проведем с использованием параметра λ∈ [0,1], характеризую-

щего степень отклонения реального распределения вероятностей от нормального распределения.

Следуя [5], представим распределение F(r) в виде

где- плотность вероятностей нормального распределения с

параметрами- плотность вероятностей нормального

распределения с параметрами т. Значение параметра λ

интерпретируется как вероятность того, что реализация доходности портфеля финансовых титулов будет принадлежать нормальному распределению с параметрами- нормальному

распределению с параметрами т,σ². Иначе говоря, все наблюдения имеют одно и то же среднее, а ошибка для некоторых из них в несколько раз больше, чем у остальных.

C использованием (2), (3) завершим конкретизацию задачи (1) выразив целевой функционал из (1) в явном виде. В случае, когда доходности различных финансовых титулов статистически независимы, параметры 777, σ²портфеля выражаются следующим образом

Таким образом, соотношения (1) и (7) определяют математическую формулировку исследуемой портфельной модели выбора инвестиционных решений.

94

В общем случае для решения задачи (1) с целевой функцией (7) необходимо использовать численные методы оптимизации нелинейной функции при линейных ограничениях.

Рассмотрим ситуацию принятия решений, в которой текущее состоя­ние инвестора обеспечивает, кроме непосредственного распределения ли­квидных средств на приобретение, финансовых титулов, реализацию им также следующих возможностей:

1) продажу любых финансовых титулов и вложение вырученных средств в другие финансовые титулы;

2) заем любых финансовых титулов с правом их продажи без покры­тия и с обязательством их возвращения в конце инвестиционного периода.

Учет указанных возможностей снимает требования неотрицательности компонент структуры инвестиционного портфеля и позволяет решить задачу (1), (7) аналитически с использованием метода множителей Лагранжа.

Функция Лагранжа Ф(х), соответствующая задаче (1), в рассматрива­емом случае имеет вид

где к - множитель Лагранжа.

Необходимые условия экстремума функции Лагранжа приводят к следующей системе уравнений для определения оптимальной структуры х* - (x₁*₅... , x_n*) инвестиционного портфеля:

Добавляя к (9) условие-равенство из (1) и решая получаемую систему уравнений относительно компонент вектора х, приходим к следующему результату:

Явные выражения (10), (11) позволяют провести анализ влияния на структуру оптимального портфеля обобщенных характеристик рассматри­ваемого множества финансовых титулов. Данные характеристики представлены параметрами P и Q.

Для устранения явной зависимости параметра Qот компонент вектора х определяемой соотношением (5), воспользуемся предложенной в [5] интерпретацией степени с нерасположенности инвестора к риску, связывающей (интерпретацией) значение последней с дисперсией доходности портфеля. Согласно данной интерпретации имеем σ² ≈ —, с

где π - надбавка за риск к лотерее с двумя равновероятными исходами, с нулевым ожидаемым выигрышем и с дисперсией σ². Иными словами π - цена, которую согласен заплатить инвестор за участие в указанной лотерее. В той же работе [5] приведен и способ нахождения величины π. Следовательно, правомочна приближенная оценка параметра

При использовании приближенной оценки величины Qв соотношениях (10), (11) последние представляют собой формулы

определения оптимальной структуры инвестиционного портфеля по следующим исходным данным:

- индивидуальным характеристикам финансовых титулов (их ожидае­мой доходности m_jи риска, измеряемого дисперсией σ² J- 1,..., /7);

- суммарным характеристикам множества финансовых титулов, на ко­тором вырабатывается инвестиционное решение; данные характеристики представлены в (10), (11) параметрами Pи Q∖

- индивидуальной характеристике инвестора, представляемой значением параметра с;

- меры нерасположенности инвестора к риску;

- степени λ отклонения распределения вероятностей на доходности инвестиционного портфеля от нормального распределения; данная харак­теристика входит в соотношение для обобщенного параметра Qв (10), (И).

Случай статистической зависимости доходностей финансовых титулов

Рассмотрим случай, когда доходности финансовых титулов не являются независимыми. Данное предположение не влияет на спецификацию функции полезности, и мы оставляем ее такой же как в первом случае.

В связи с новыми условиями, проведем спецификацию функций плотности вероятностей для доходности каждого финансового титула портфеля аналогично предыдущему случаю, с использованием параметра λ₁∈[0,l].

Зададим каждой доходности элемента портфеля распределение V_i(r_i)в виде

где- плотность вероятностей нормального распределения с

параметрами- плотность вероятностей нормального

распределения с параметрамиЗначение параметра

λ_iинтерпретируется, по аналогии с первым случаем, как вероятность того, ЧТО реализация ДОХОДНОСТИ /-ГО финансового TH^ivtil6vhptттптлттяттттА-я