<<
>>

Урок 9 Обсуждение кривых спроса. Общая формула математического решения задачи обмена двух товаров друг на друга

Содержание: 85. Спрос при нулевой цене; он равен экстенсивной полезности. 86. Цена, при которой спрос на (А) равен нулю. 87. Цена, при которой предложение (В) равно имеющемуся количеству: пересечение гиперболы имеющегося количества и кривой спроса.

89. Гипербола — кривая спроса между точками пересечения. 90. Уменьшение имеющегося количества. 91. Увеличение. 92. Общий случай — случай одного держателя обоих товаров. Два уравнения или кривые частичного действительного спроса. 93, 94, 95. Уравнение или кривая спроса на каждый товар — это также уравнение или кривая спроса на тот же товар в зависимости от цены. 96. Общая система уравнений намерений к торгу в случае обмена двух товаров друг на друга. 97, 98. Решение уравнений.
  1. Поскольку уравнение частичного спроса

da =fa,1(Pa) является не чем иным, как уравнением

фа,/// = PaФb,1(qb - daPa),

которое предполагается решенным относительно da, мы можем обсудить его в этом последнем виде.

Сделаем сначала Pa = 0, тогда уравнение сводится к

фа,/// = 0

корень которого — da = aq1 = Oad1.

Итак: если на рынке даны два товара, то, когда цена одного из нихрав- на нулю, количество этого товара, запрашиваемое каждым держателем другого, равно количеству, необходимому для удовлетворения всех потребностей вдоволь, или экстенсивной полезности.

Так и должно, действительно, быть (§ 71). Кривая ad 1ap 1 начинается из точки aq 1.

  1. Положим теперь в уравнении спроса da = 0, получим

фа,1(0) = PаФb,1(qb),

фа 1(0)              ar 1

уравнение, корень которого есть Pa = —:              = —— = Oap 1.

Фьд^ь)              Рь

Итак: количество одного из двух товаров, запрашиваемое держателем

74

другого (товара), равно нулю, если только цена этого товара равна или больше отношения интенсивности максимальной потребности в нем к интенсивности последней потребности, которая может быть удовлетворена имеющимся количеством товара, предлагаемого в обмен.

Действительно, именно это должно иметь место, так как в этом случае последний элемент (В), например ob/s, потребляемый держателем (1), приносит ему удовлетворение (ob/s)pb, а тот же самый элемент, обмененный на da/s (A) по цене pa, принесет ему удовлетворение всего лишь (da/s)ar 1 = obar 1/spa, равное или меньшее, чем первое.

  1. Выявив ценовое условие, необходимое для того, чтобы наш держатель (1) товара (В) не предъявлял спроса на (А), попробуем выявить условие, необходимое для того, чтобы он не удерживал (В) для себя. В уравнении
  1. Ф",1(-") = PaФb,1(9b — daPa), надо сделать
  2. dp a = 9b.

= Ф",1(-") = p

pa              /11 ч и

1

Тогда оно становится

  1. Ф",1(-")              = PaФb,1(0),

уравнением, чей корень есть              ф              (0)              р

Итак: количество одного из двух товаров, предлагаемое держателем этого товара, равно имеющемуся количеству, когда цена запрашиваемого товара равна или меньше отношения интенсивности последней потребности, которая может быть удовлетворена этим товаром, к интенсивности максимальной потребности в предлагаемом товаре.

Именно это также должно иметь место, так как в этом случае первый элемент (В), например ob/s, потребляемый держателем (1), принесет ему всего лишь удовлетворение ob/sPr1, а тот же самый элемент, обмененный на da/s (A) по цене pa, принесет ему удовлетворение dapa/s = obpa/ spa, равное или большее, чем первое.

  1. Умножив соответственно левые и правые части двух уравнений
  1. и [3] и разделив каждую часть на pa с тем, чтобы исключить это последнее количество, получим

-"Ф",1(-") = ГьФЬд^Ь 75

или же, заменяя 9ь и фьд(^) = Рг,1 на длины Oq^, OPr-д, которые их представляют

-"Ф",1(-") = OqbxOвг,l.

Это уравнение выражает следующее условие: чтобы предложение одного из двух товаров могло быть равно имеющемуся количеству данного товара, необходимо, чтобы в кривую потребности в запрашиваемом товаре можно было вписать прямоугольник, равный по площади прямоугольнику, высота которого равна имеющемуся количеству предлагаемого товара, а основание — интенсивности максимальной потребности в этом товаре.

Но это условие выполняется не всегда; так, оно не выполняется в нашем примере. Впрочем, его можно заменить другим. Совокупность двух уравнений [1] и [2] представляет собой, в конечном счете, пересечение гиперболы имеющегося количества (В), dpa =qb, с кривой частичного спроса на (А), da =fa1 (pa). Эти две кривые пересекаются не всегда: в частности, они не пересекаются в случае с нашим держателем.

  1. Данное замечание влечет за собой другое, крайне важное. Предположим, что удовлетворяется сформулированное выше условие и что кривая спроса пересекается с гиперболой имеющегося количества в точках qb и qb (Рис. 1). Предложение (В) было бы равно имеющемуся количеству qb при ценах, представленных абсциссами точек qb и qb. Это равенство имело бы также место при промежуточных ценах. Даже, исходя из комбинации уравнений или кривых, представляется, что при промежуточных ценах предложение (В) должно было бы быть больше имеющегося количества qb. Но поскольку держатель не может предложить больше, чем имеет, надо, естественно, ввести такое ограничение, что qb — dapa не может быть отрицательным количеством, а это можно сделать, сформулировав условие в следующих терминах: — Чтобы предложение одного из двух товаров могло быть равным имеющемуся количеству, необходимо, чтобы гипербола данного имеющегося количества данного товара пересекалась с кривой спроса на другой товар. Гипербола количества есть кривая спроса между двумя точками пересечения.
  2. Если кривые ar1aq 1, Рг1 Pq 1 (рис. 3) не изменяются, а qb начинает уменьшаться, то pb возрастает и, следовательно, ar1/pb = Oap1 уменьшается. Когда qb = 0, rb = Рг1, то отношение ar1/pb совпадает с о^/Ри = On. В этом случае кривая спроса ad 1ap 1 совпадает с частью осей координат ad,1On.

Итак: если полезность двух товаров не меняется для держателя одного из них, если имеющееся количество этого товара начинает уменьшаться, то точка пересечения кривой спроса на первый товар с осью цен приближается к началу координат.

Когда это имеющееся количество равно нулю, кривая спроса сливается с частью осей координат, образованной — по оси спроса — экстенсивной полезностью запрашиваемого товара, а по оси цен — отрезком, равным отношению интенсивностей максимальных потребностей в обоих товарах.
  1. Напротив, если qb начинает возрастать, то pb уменьшается и, следовательно, ar1/pb =Oap1 возрастает. Когда qb = Pq1, pb = 0, отношение ar1/pb становится бесконечным. Тогда точка ap 1 бесконечно удалена от точки 0.

Таким образом: если полезность обоих товаров не изменяется для держателя одного из них и если имеющееся количество этого последнего товара начинает возрастать, то точка пересечения кривой спроса на первый товар с осью цен удаляется от начала координат. С того момента, когда это имеющееся количество равно экстенсивной полезности, кривая спроса асимптотически приближается к оси цен.

Мы прекрасно понимаем, что так и должно быть. Впрочем, ясно, насколько мы были правы, отказавшись судить раньше времени о форме кривых совокупного спроса (§ 55). Сейчас мы могли бы утверждать, что они всегда пересекают ось спроса, так как ни один товар не имеет бесконечной совокупной экстенсивной полезности. Но что касается асимптотического стремления кривой спроса к оси цен, то его следует рассматривать как обычный и частый факт, поскольку он имеет место, если только среди держателей одного из товаров есть один, обладающий этим товаром в количестве, достаточном для полного удовлетворения всех его

потребностей. Отсюда следует, что кривые полного предложения начи-

*

наются часто от начала координат .

  1. До сих пор мы постоянно предполагали, что все наши обменивающиеся лица были держателями только одного товара: товара (А) или товара (В). Надо, однако, учесть тот особый случай, когда один и тот же индивид является держателем обоих товаров (А) и (В), и выразить математически его намерения к торгу. Это надо сделать с тем большим основанием, что, в конечном счете, именно этот второй случай является общим, от которого мы приходим к первому, предполагая равным нулю одно из двух наличных количеств. Мы не стали это вводить в задачу обмена двух товаров друг на друга с самого начала из-за возможного усложнения наших рассуждений. Но теорема максимального удовлетворения позволяет теперь рассмотреть его простым и легким образом.

Итак, предположим, что держатель (1) товара (В), потребности которого в (А) и (В) все также выражаются двумя уравнениями r = фа 1(q), r = фьд^) кривых потребностей ar1 aq1,Pr1 Pq1, вместо того, чтобы прийти на рынок с нулевым количеством (А) и с количеством qb (B), представленным Oqb (рис. 3), является на него с количеством qa1 (A), представленном Oqa1 (рис. 4) и количеством qb1 (В), представленным Oqb1; а теперь попробуем выразить его спрос на (В) в зависимости от цены Pb и его спрос на (А) в зависимости от цены Pa.

Если при цене Pb товара (В) в (А), представленной длиной qb1Pb, он спрашивает количество db (В), представленное длиной qb 1db, то он должен будет предложить количество oa (A), представленное длиной qa 1oa, причем такое, чтобы величины Pb, db и oa были связаны уравнением

oa = dbPb.

Так как интенсивность его последней удовлетворенной потребности в (В) есть rb, представленная длиной dbP, а интенсивность его последней удовлетворенной потребности в (А) есть ra, представленная длиной oaa, то по теореме максимального удовлетворения мы получим (§ 80)

rb = PbU

или, заменяя rb и ra на их значения,

  1. Фь,1^Ь,1              + db)              = PbФа,1(qа,1 - 0а) = PbФa,1(qa,1 - ^,

уравнение кривой bd1bp1 спроса на (В) как функции от цены (В) в товаре (А), построенной в осях qb 1q, qb 1P.

Равным образом, если при цене Pa товара (А) в (В) наш человек спрашивает количество da (А), то он должен будет предложить количество ob

  1. , причем такое, чтобы величиныPa, da и ob были связаны уравнением

0b = daPa.

Так как интенсивность его последней удовлетворенной потребности в (A) есть ra, а интенсивность его последней удовлетворенной потребности в (B) есть rb, то мы получим

ra = Parb,

Рис. 4

или

  1. 9a,1(qa,1              + da)              = pa9b,1(qb,1 -              ob) = pa9b,1(qb,1 - daPa),

уравнение кривой ad1ap1 спроса на (A) как функции от цены (A) в товаре (B), постороенной в осях qa 1q, qa p

  1. Обсуждение двух уравнений [4] и [5] для разных случаев — спроса по нулевой цене, цены при нулевом спросе, предложения, равного наличному количеству, уменьшения или увеличения наличных количеств — будет совершенно аналогичным приведенному выше. Поэтому я не буду этого делать, за исключением особого пункта, который важно отметить.

Если в уравнении [4] принять db = 0, то оно становится

9b,1(qb,1) = pb9a,1(qa,1).

Поскольку мы имеем, как и раньше, отношение papb = 1, то данное уравнение может быть выражено в форме

9a,1(qa,1) = pa9b,1(qb,1).

Мы могли бы также получить его, принимая в уравнении [5] da = 0.

Таким образом: если спрос на один из двух товаров при некоторой цене равен нулю, то спрос на другой товар также равен нулю при соответствующей цене.

  1. Но данная теорема соответствует более общей теореме.

Чтобы преобразовать уравнение [4] спроса на (В) как функцию от цены

(В)              в (А) в уравнение предложения (А) как функцию от цены (А) в (В), достаточно заменить в нем db на o,Pa, а Pb на 1/Pa. Тем самым оно станет

Фа,1^а,1 - 0а) = PaФb,1(qb,1 + 0SPa),

уравнение, являющееся не чем иным, как уравнением [5], в котором da заменено на (—oa). Таким образом, уравнение [5] спроса на (А) есть уравнение предложения (А) при отрицательных значениях da. Равным образом можно доказать, что уравнение [4] спроса на (В) есть уравнение предложения (В) при отрицательных значениях db. Однако, поскольку цены, по существу, положительны, то когда db положительно, то oa = dbPb положительно и, следовательно, da = -oa отрицательно; а когда db отрицательно, то oa = dbPb отрицательно и, следовательно, da = -oa положительно. Равным образом можно было бы доказать, что когда da положительно, то db отрицательно, а когда da отрицательно, db положительно.

Итак: если спрос на один из двух товаров при некоторой цене положителен, то при соответствующей цене спрос на другой товар отрицателен, или его предложение положительно.

Действительно, держатель обоих товаров может предъявлять спрос на один из них лишь при условии, что он предлагает другой (товар), и обратно. Отсюда следует, что если он не спрашивает и не предлагает никакого количества одного из них, то он не предлагает и не запрашивает никакого количества другого (товара). Это, как нетрудно признать, тот случай, когда — при равенстве соотношения редкостей двух товаров точно цене одного из них в другом — имеет место максимум действительной полезности.

  1. Кривые являются, таким образом, кривыми спроса от точки ad1 до точки ap1 и от точки bd 1 до точки bp1, а точки ap1, bp1 являются взаимосвязанными (обратными). А в части, обозначенной на рисунке пунктиром и лежащей ниже осей qa1P, qb1P, кривые являются кривыми предложения от точки ap1 до точки ao1 и от bp1 до bo1. Взятые в целом относительно оси Or, каждая из них является кривой совокупного количества — сохраненного у себя и полученного — каждого из двух товаров в зависимости от цены. Она имеет минимум, соответствующий максимальному предложению в обмен другого товара.
  2. Коротко говоря, если мы просто обозначим через х1 и у1 количества, положительные либо отрицательные, товара (А) и (В), которые обменивающееся лицо (1) будет в зависимости от цены добавлять к количествам qa 1, qb 1 этих товаров, держателем которых он является, то намерения к торгу данного индивида будут вытекать из двух уравнений обмена и максимального удовлетворения

x1Va + УЦь = °

Ф",1(9",1 + *1) =

Фь,1(9ь,1 + У1) V

в которых можно исключить у1, чтобы получить x1 как функцию от pa, или исключить x1, чтобы получить у1 как функцию от pb. Полученные таким путем формулы

Ф",1(9",1 + [§]1) = PaФb,1(qb,1 — XlPa),

Фь,1(9ь,1 + У1) = Pbфa,1(9a,1 — УlPb),

являются общими формулами, которые могут быть должным образом развернуты, чтобы выразить намерения к торгу того же самого индивида в случае обмена нескольких товаров друг на друга.

Существенно важно отметить, что первое из этих уравнений — для значений pa, делающих отрицательный х1 больше qa1, должно быть заменено уравнением x1 = —qa 1, в этом случае у1 будет задано уравнением y1pb = qa1; равным образом второе уравнение — для значений pb, делающих отрицательный у1 больше qb1, — должно быть заменено уравнением у1 = —qb1, в этом случае х1 будет задано уравнением xpa = qb1.

  1. Эти уравнения, решенные относительно x1 и у1, и расположенные должным образом, чтобы удовлетворить предшествующему ограничению, примут форму:

Х1 =f",1(Pa),              У1 = ЕМ).

Таким же образом, чтобы выразить намерения к торгу обменивающихся лиц (2), (3) ..., мы будем иметь

А равенство действительных предложения и спроса по каждому из двух товаров (А) и (В) будет выражаться уравнениями:

X =/a.1^a) +fa,2(pa) +/a,3^a) + ••• = Fa^a) = 0,

Y=/b,1^b) + /b,2^b) + /b,3^b) + - = Fb^b) = °.

pa можно, например, получить из первого уравнения, тогда pb будет определено из уравнения

p = 1;

и это значение pb будет с необходимостью удовлетворять второму уравнению в силу того, что мы имеем, естественно,

XVa + YVb = 0,

откуда следует, что, если Fa(pa) = 0 при определенном значении pa, то Fb(pb) = 0 при соответствующем значении pb.

Это решение является аналитическим. Ему можно придать геометрический вид. Сумма положительных х даст кривую спроса на (А), а сумма положительных у даст кривую спроса на (В). Из этих двух кривых спроса выводятся обе кривые предложения двух товаров, которые являются, впрочем, не чем иным, как суммами отрицательных х и у, взятых с положительным знаком. Пересечение кривых определяет текущие цены.

  1. Таким будет математическое решение. А решение на рынке будет происходить следующим образом.

После того, как «выкрикнуты» две какие-либо взаимосвязанные цены pa иpb, то x1, x2, x3 ... y1, y2, y3 ... будут определяться без каких-либо расчетов, но тем не менее в соответствии с условием максимального удовлетворения. Тем самым будут определены Х и Y Если мы будем иметь Х = 0, то У также будет равен 0, а цены будут равновесными. Но обычно мы будем иметь Х " 0 и, следовательно, Y " 0. Первое неравенство может быть выражено в форме

Da"Oa,

если обозначить через Da сумму положительных х и через Оа сумму отрицательных х, взятых с положительным знаком. Речь идет о том, чтобы сделать Da равным Оа.

Что касается Da, то это количество положительно при pa = 0; оно стремится к нулю, если pa растет; оно равно нулю при определенном значении Pa, заключенном между нулем и бесконечностью. Что касается Оа, то это количество равно нулю при Pa = 0 и даже при некоторых положительных значениях Pa; затем оно растет, если растет ра, но не бесконечно: оно проходит, по меньшей мере, через один максимум, затем уменьшается , если ра продолжает расти; и оно равно нулю прира = гс В этих условиях — если только Da не становится равным нулю до того, как Оа перестало быть нулевым, случай, при котором нет решения — существует некоторое значение ра, при котором Оа и Da равны. Чтобы найти это значение, надо увеличивать ра, если Da gt; Oa, и уменьшать ра, если Da lt; Oa. Мы узнаём здесь закон действительных предложения и спроса.

<< | >>
Источник: Вальрас Л.. Элементы чистой политической экономии. — М.: Изограф,2000. - 448 с.. 2000

Еще по теме Урок 9 Обсуждение кривых спроса. Общая формула математического решения задачи обмена двух товаров друг на друга:

  1. Урок 9 Обсуждение кривых спроса. Общая формула математического решения задачи обмена двух товаров друг на друга
- Антимонопольное право - Бюджетна система України - Бюджетная система РФ - ВЭД РФ - Господарче право України - Государственное регулирование экономики России - Державне регулювання економіки в Україні - ЗЕД України - Инвестиции - Инновации - Инфляция - Информатика для экономистов - История экономики - История экономических учений - Коммерческая деятельность предприятия - Контроль и ревизия в России - Контроль і ревізія в Україні - Логистика - Макроэкономика - Математические методы в экономике - Международная экономика - Микроэкономика - Мировая экономика - Муніципальне та державне управління в Україні - Налоги и налогообложение - Организация производства - Основы экономики - Отраслевая экономика - Политическая экономия - Региональная экономика России - Стандартизация и управление качеством продукции - Страховая деятельность - Теория управления экономическими системами - Товароведение - Управление инновациями - Философия экономики - Ценообразование - Эконометрика - Экономика и управление народным хозяйством - Экономика отрасли - Экономика предприятий - Экономика природопользования - Экономика регионов - Экономика труда - Экономическая география - Экономическая история - Экономическая статистика - Экономическая теория - Экономический анализ -