Устойчивость и синергетика модели Самуэльсона—Хикса

Ниже в качестве примера детально исследуем условия устойчивости модели Самуэльсона—Хикса. Кроме того, покажем, что эта модель при определенных значениях параметров является синергетической, хотя и является линейной динамической системой второго порядка.

В работе [4J синергетические свойства экономики трактуются следующим образом: «...синергетическая экономика придает особое значение не линейным, а нелинейным аспектам экономического эволюционного процесса, не устойчивости, а неустойчивостям, не непрерывности, а разрывам, не постоянству, а структурным изменениям — в противоположность традиционному рассмотрению линейности, устойчивости, непрерывности и неизменности». К важнейшим аспектам экономического эволюционного процесса автор относит «...нелинейность, неустойчивость, бифуркации и хаос в динамических экономических системах».

Выше (см. (1.2.18)) было показано, что непрерывным аналогом модели Самуэльсона—Хикса является следующее линейное неоднородное уравнение второго порядка:

Согласно теории линейных дифференциальных уравнении [11J общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего решения однородного и частного решения неоднородного.

Общее решение однородного уравнения есть линейная комби-

Поскольку частным решением неоднородного уравнения служит константа в правой части (1.3.20), то общее решение неоднородного уравнения имеет вид:

Конкретное решение получаем при заданных начальных условиях.

Выбранное частное решение неоднородного уравнения является одновременно и его стационарным решением

Представим решение уравнения (1.3.20) при начальных условиях

тогда приращение ВВП относительно стационарного решения у^Е будет удовлетворять однородному уравнению

Ниже кроме поведения ВВП будет также изучаться эволюция инвестиций и потребления. Согласно модели годовые инвестиции состоят из постоянной части / и переменной части /' = r(y(t)-y(t-\)y

Решение однородного уравнения (1.3.23) при заданных начальных условиях идоеет вид (1.3.21), где Л,, определяются из начальных условий.

все возможные значения г при условии, что

Следует заметить, что исследование устойчивости уравнения (1.3.20) было схематически выполнено в [6]. В настоящей работе это исследование проводится в деталях, чтобы выявить случаи синергетического поведения системы.

Поэтому

Используя начальные условия (1.3.23), находим

т.е. система возвращается в прежнее состояние покоя и, следовательно, является устойчивой.

ВВП, потребление и инвестиции ведут себя на протяжении переходного процесса аналогично их поведению в первом случае.

В этом случае дискриминант характеристического уравнения отрицателен, поэтому его корни комплексные взаимно сопряженные:

Таким образом, система после затухающих гармонических колебаний возвращается в первоначальное состояние покоя, т.е. является устойчивой.

ВВП, потребление, инвестиции при г|₀ < 0, и₀