Управление динамическими системами

Под управлением понимается прямое воздействие на систему, направленное на достижение заданного результата.

В этом заключается основное отличие управления от регулирования, которое осуществляется на основе сравнения регулируемого (выходного) показателя с задающим (входным).

Под оптимальным управлением понимается выбор из множества возможных такого варианта управления, который по заданному критерию является оптимальным.

Выше последовательно были исследованы все более усложняющиеся системы от линейных односвязных до нелинейных многосвязных. Как видно из этого исследования, поведение любой нелинейной многосвязной системы описывается следующими уравнениями движения:

Если возмущающие воздействия пренебрежимо малы, некоторые из задающих воздействий становятся управляющими, а некоторые являются заданными известными функциями времени, то приходим к следующим уравнениям для управляемой динамической системы:

где и — вектор управляющих параметров, и е U\

U — область допустимых значений управляющих параметров.

Управляющая траектория (управление) u(t) называется допустимой, если она кусочно-непрерывна и в точках разрыва непрерывна слева:

и, кроме того, при любом t u(t) е U.

Если задан закон управления, т.е. определена допустимая управляющая траектория u(t), то уравнения для фазовых переменных принимают вид:

тем самым при любых начальных условиях у(0) = у⁰ однозначно определяется решение.

В качестве критерия оптимальности выбирается некоторый функционал от фазовой и управляющей траекторий, который подлежит максимизации (минимизации):

где у(Т) = у^т — возможное конечное значение вектора состояния.

Согласно принципу максимума Понтрягина, описанному в Приложении 3, алгоритм нахождения оптимального решения задачи (1.6.3), (1.6.4) заключается в следующем.

1. Для каждого уравнения движения (1.6.3) вводится двойственная (сопряженная) переменная

2. Строится функция Гамильтона (гамильтониан):

3. Формируются уравнения для сопряженных переменных:

Экономика в форме односекторной модели оптимального роста как управляемая система

Односекторная модель экономического роста (модель Солоу), рассмотренная в § 1.1, в абсолютных показателях имеет вид:

Переменные Y, I, С, К, L являются эндогенными (определяемыми внутри модели), коэффициенты ц, v — экзогенными (задаваемыми извне модели).

В удельных показателях (в расчете на одного занятого) данная модель принимает вид:

В этот интеграл будущие значения удельного потребления входят с экспоненциально убывающим весом.

Таким образом, приходим к следующей модели оптимального роста:

В этой задаче выражение (1.6.9) задает критерий, (1.6.10) - область допустимых значений управляющего параметра с (с — минимально допустимое с социальной точки зрения значение удельного потребления), (1.6.11) — уравнение для единственной фазовой переменной к. Решением данной задачи служит оптимальная допустимая траектория удельного потребления c*(t), доставляющая мак-

Предположим теперь, что можно управлять удельным потреблением с целью максимизировать интегральное удельное дисконтированное потребление за длительный промежуток времени:

При уточнении оптимального правила (1.6.14) необходимо принимать во внимание, что к и q удовлетворяют уравнениям (1.6.11) и (1.6.13), т е.

В частности, q = 1 является стационарным решением уравнения (1.6.13), поэтому при q= 1 выполняется (1.6.15). Таким образом, оптимальное правило приобретает следующий вид:

даже восстановления фондов), поэтому уравнение для фазовой переменной примет вид:

Решение последнего уравнения —

На рис. 1.25, 1.26 показаны оптимальные траектории фондовооруженности и удельного потребления для тех случаев, когда имеет место сходимость к стационарным траекториям (верхний индекс (1) соответствует области q > 1, верхний индекс (2) — области q < 1).

Рис. 1.25. Оптимальные траектории фондовооруженности

При q < 1, к₀ > к^Е в фонды не поступает никаких вложений, поэтому фондовооруженность сокращается за счет увеличения числа занятых по закону к* (t) = k₀e~^Xt, X = \x + v, потребление также

сокращается по закону с (t) = f(k_(je~^}J), пока фондовооруженность

не достигнет в момент t* стационарного значения к^Е, после чего система входит в стационарный режим. Во всех остальных случаях система не достигает стационарного режима.

Рис. 1.26. Оптимальные траектории удельного потребления

Оптимальный рост замкнутой трехсекторной экономики, описываемой в следующем разделе, представлен в Приложении 3.

Вопросы и задания

*ч

1. Что такое динамический элемент и динамическая система?

2. Почему экономика является динамической системой?

3. В чем сходство и различие понятий: «мультипликатор», «акселератор», «инерционное звено», «колебательное звено»? Где эти понятия используются в экономике?

4. Что такое импульсная функция? Какова импульсная функция инерционного звена?

5. Что такое переходная функция? Какова переходная функция инерционного звена?

6. Какова переходная функция колебательного звена?

7. Как среагирует экономика в форме упрощенной модели Кейнса