Статический элемент системы

Статический элемент без задержки (мгновенно) преобразует вход х в выход у = F(x).

Иными словами, этот элемент рассматривается как «черный ящик», внутреннее устройство которого в данном исследовании не принимается во внимание, а предметом изучения является то, как вход преобразуется в выход.

Например, в теории однопродуктовой фирмы выпуск у задается как функция затраченных на выпуск ресурсов:

где F(x) — вообще говоря, нелинейная производственная функция многих переменных х\, ..., х„.

Таким образом, фирма рассматривается как нелинейный статический элемент.

Другим примером является описание экономики страны в виде макроэкономической производственной функции

Y=F{K, L),

где Y — валовой внутренний продукт;

К — основные производственные фонды;

L — число занятых.

Так, мультипликативная производственная функция экономики США, расчитанная по данным за 1980—1995 гг., имеет вид;

Динамический элемент системы

Динамический элемент характеризуется тем, что его выход в любой момент времени 1 зависит не только от входа в настоящий момент Л но и от значений входа и, быть может, выхода в прошлые моменты времени t — l, t — 2, ...

Например, в статической форме линейная связь между национальным доходом N и потреблением С в любой год t может быть представлена в форме (индекс времени t опущен, но подразумевается по умолчанию):

С = aN (статический элемент), где а — доля фонда потребления в национальном доходе.

В динамике эта связь может быть представлена в виде;

Таким образом, в динамическом элементе причина переходит в следствие не мгновенно, а с некоторым запозданием.

Динамическая система

Система называется динамической, если в ее составе имеется хотя бы один динамический элемент.

С> Пример 1.1. Экономика в форме модели Солоу как динамическая система. В модели Солоу экономика рассматривается как замкнутое единое неструктурированное целое, производит один универсальный продукт, который может как потребляться, так и инвестироваться.

В этой модели рассматривается пять макроэкономических показателей (эндогенных переменных):

Y — валовой внутренний продукт (ВВП);

/ — валовые инвестиции;

С — фонд потребления;

К — основные производственные фонды;

L — число занятых в производственной сфере.

Первые три переменные (Y, I, С) являются показателями типа потока (их значения накапливаются в течение года), переменные К, L — мгновенные переменные (их значения могут быть измерены, вообще говоря, в любой момент непрерывного времени).

Модель Солоу с дискретным временем. Модель Солоу с дискретным временем задается системой уравнений вида:

С содержательной точки зрения эти уравнения имеют следующий смысл. Первое уравнение задает ВВП как производственную функцию от ресурсов — основных производственных фондов и числа занятых, второе уравнение — распределение ВВП на валовые инвестиции и потребление. Третье уравнение — это рекуррентное соотношение для определения ОПФ будущего года по значениям

Таким образом, экономика в форме модели Солоу, видимым образом неструктурированная, на самом деле структурируется в контур с обратной связью, показанный на рис. 1.2. Тем самым экономика в форме модели Солоу является динамической системой, поскольку в ее составе имеются динамические элементы.

Рис. 1.2. Структурная схема модели Солоу

Структурную схему, представленную на рис. 1.2, можно перестроить с управленческой точки зрения.

Рис. 1.3. Скорректированная структурная схема модели Солоу

Модель Солоу с непрерывным временем. Предположим теперь, что время, измеряемое вначале с дискретностью в один год, будет измеряться с дискретностью At (например, полугодие, квартал, месяц, декада, день). При дискретности в один день время можно считать практически непрерывным.

При дискретности At модель Солоу будет выглядеть следующим образом:

Данная модель может быть представлена в такой же структурной форме, как это показано на рис. 1.2, 1.3, однако при этом уравнения (3), (4) (1.1.1) должны быть заменены уравнениями (3), (4) (1.1.3), Следует отметить, что модель Солоу в дискретной форме (1.1.1) и модель Солоу в непрерывной форме (1.1.3), несомненно, являются разными моделями и расчеты по ним приводят к разным, однако достаточно близким, результатам. ►

Как видно из примера 1.1, экономические динамические системы могут быть представлены в форме конечно-разностных уравнений (дискретное время) и в форме дифференциальных уравнений (непрерывное время). Между математическими методами дифференциальных и конечно-разностных уравнений нет существенного различия: при решении дифференциальных уравнений на ЭВМ их приближенно заменяют на конечно-разностные; напротив, любое конечно-разностное уравнение можно приближенно заменить дифференциальным.

Замечание. При характеристике модели Солоу обычно говорят, что в ней экономика представляет собой неструктурированное целое и производит один агрегированный продукт, который может как потребляться, так и инвестироваться. Данное утверждение можно интерпретировать как представление экономики в виде одного динамического элемента (ведь экономика неструктурирована!).

Однако при более детальном знакомстве с моделью (как это следует из примера 1.1) становится ясно, что экономика в форме модели Солоу состоит из четырех элементов, объединенных в контур обратной связи. Кроме того, экономика нелинейна, поскольку связь между выпуском и затратами ресурсов задается в виде нелинейной производственной функции.

Таким образом, даже агрегированное модельное представление экономики позволяет сделать вывод о том, что она является сложной динамической системой,

1.2.