Приложение 4 О соотношении оптимальных управляющих правил переходного и стационарного режимов1
В модели оптимального экономического роста, описанной в § 1.6, в качестве критерия оптимальности рассматривается дисконтированное удельное потребление
При этом роль фазовой координаты выполняет фондовооруженность к, роль управляющего параметра — удельное непроизводственное потребление с, а критерием служит дисконтированное
Такой же характер имеет решение и для замкнутой трехсекторной экономики, как это показано в Приложении 3.
Все это дает основание полагать, что подобная закономерность при определенных условиях имеет место и в общем случае.1 Результаты Приложения 4 получены автором.
Рассмотрим общую задачу оптимального управления в стационарной постановке:
Согласно принципу максимума Понтрягина решение задачи (П.4.4), (П.4.5) начинается с построения функции Гамильтона
Граничные условия для сопряженных переменных задаются в конечный момент времени Т (условия трансверсальности):
устойчива в любой точке на допустимой фазовой траектории, т.е. имеет в такой точке собственные значения с отрицательными действительными частями.
Исследуем решение прямых уравнений (11,4.5) при условиях, характерных для моделей экономического роста:
т.е. при фиксированном управлении и фазовые координаты являются возрастающими функциями времени.
Предположим теперь, что при неограниченном росте t имеется предел
рица первых производных функций, задающих нелинейные ограничения статической задачи, является устойчивой в каждой точке допустимой области, то при больших значениях t значение управления динамической задачи с дисконтированным критерием оптимальности совпадает со значением управления статической нелинейной задачи.
В частности, если оптимальное правило имеет конечное число переключений, то с момента последнего переключения значение оптимального управления динамической задачи становится равным значению оптимального управления статической задачи.