Приложение 3 Оптимальный рост замкнутой трехсекторной экономики1
Под оптимальным понимается такое динамическое распределение трудовых и инвестиционных ресурсов, при котором за длительное время дисконтированное удельное потребление максимально.
Полученные результаты являются обобщением на случай трехсекторной экономики результатов Эрроу по оптимальному росту в односекторной экономике и Удзавы по оптимальному росту в двухсекторной экономике. Задача решается с помощью принципа максимума Понтрягина.
Напомним назначение секторов трехсекторной экономики: материальный (нулевой) сектор производит предметы труда (топливо, электроэнергию, сырье и другие материалы); фондосоздающий (первый) — средства труда (машины, оборудование, силовые устройства, производственные здания и сооружения и т.д.); потребительский — предметы потребления (продовольственные и непродовольственные товары, непроизводственные здания и сооружения, вооружение и другие предметы конечного непроизводственного назначения).
Ниже предполагается, что производственные функции секторов являются линейно-однородными неоклассическими функциями
Тогда согласно § 2.4 замкнутая трехсекторная модель экономики в относительных показателях задается следующими уравнениями:
1 Результаты Приложения 3 получены автором.
Как говорилось выше, в качестве критерия оптимального управления трехсекторной экономикой выбран максимум интегрального дисконтированного удельного потребления
Замечание. В теории оптимального уравнения допускается скачкообразное изменение управляющих параметров (их траектории кусочно-непрерывны), в то время как фазовые координаты непрерывны по времени.
В нашем случае скачок одного из управляющих параметров ,v0 или S] означает просто переход каждой фазовой переменной с траектории с левосторонними значениями управляющих параметров на траекторию с правосторонними значениями этих параметров, при этом фазовые переменные (фондовооруженность секторов) остаются непрерывными.
Возможны три варианта действий в таком случае:
1) сгладить скачок (приближенный вариант);
2) обеспечить непрерывность фазовых переменных за счет диверсификации производства (переток трудовых ресурсов и ОПФ между секторами в момент скачка при сохранении достигнутых значений фондовооруженности секторов);
3) допустить в моменты скачков разрывы фазовых переменных при полном закреплении фондов за секторами (т.е. диверсификация невозможна).
Ниже будет применяться второй вариант, поскольку он соответ-
или в относительных показателях:
и начальное удельное потребление равно
а затем систему уравнений для сопряженных переменных:
то уравнения для сопряженных переменных примут следующий вид:
Граничные условия для сопряженных переменных задаются в конечный момент времени Т:
Преобразованные сопряженные переменные удовлетворяют сле-
В преобразованных сопряженных переменных функция Гамильтона примет вид:
Уравнения движения (П.3.1) при постоянных значениях управляющих параметров имеют следующее стационарное решение (верхний индекс S — значок стационарности):
к которому стремится решение системы дифференциальных уравнений (П.3.1) по завершении переходного процесса.
о
При переходе в момент t в стационарное состояние функция Гамильтона (П.3.13) становится независимой от сопряженных и фазовых переменных:
при выполнении условий (П.3.3)—(П.3.5).
Из сказанного следует, что оптимальное правило нужно искать среди траекторий управляющих параметров, обладающих свойством
Единственная возможность, когда это решение ограничено при больших значениях /, — это выбор С0=0, т.е.
В соответствии с принципом максимума Понтрягина теперь найдем максимум функции Гамильтона по свободным управляющим параметрам.