Глава 8. Планирование модельных экспериментов

это те факторы, в исследовании влияния которых экспериментатор заинтересован непосредственно. Вторичные - факторы, которые не являются предметом исследования, но влиянием которых нельзя пренебречь.

Выбор уровней факторов производится с учетом двух противоречивых требований:

• уровни фактора должны перекрывать (заполнять) весь возможный диапазон его изменения;

• общее количество уровней по всем факторам не должно приводить к чрезмерному объему моделирования. Поиск компромиссного решения, удовлетворяющего этим требованиям, и является задачей стратегического планирования эксперимента.

Способы построения стратегического плана

Эксперимент, в котором реализуются всевозможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ).

Общее число различных комбинаций уровней в ПФЭ для k-факторов можно вычислить следующим образом:

где Ik - число уровней k-го фактора.

Если число уровней для всех факторов одинаково, то

Недостаток ПФЭ - большие временные затраты на подготовку и проведение.

Например, если в модели отражены 3 фактора, влияющие на значение выбранного показателя эффективности, каждый из которых имеет 4 возможых уровня (значения), то план проведения ПФЭ будет включать 64 эксперимента (N = 4³). Если при этом каждый из них длится хотя бы одну минуту (с учетом времени на изменение значений факторов), то на однократную реализацию ПФЭ потребуется более часа.

Поэтому использование ПФЭ целесообразно только в том случае, если в ходе имитационного эксперимента исследуется взаимное влияние всех факторов, фигурирующих в модели.

Если такие взаимодействия считают отсутствующими или их эффектом пренебрегают, проводят частичный факторный эксперимент (ЧФЭ).

Известны и применяются на практике различные варианты построения планов ЧФЭ. Мы рассмотрим только некоторые из них.

1. Рандомизированный план - предполагает выбор сочетания уровней для каждого прогона случайным образом. При использовании этого метода отправной точкой в формировании плана является число экспериментов, которые считает возможным (или необходимым) провести исследователь.

2. Латинский план (или «латинский квадрат») - используется в том случае, когда проводится эксперимент с одним первичным фактором и несколькими вторичными. Суть такого планирования состоит в следующем. Если первичный фактор А имеет l уровней, то для каждого вторичного фактора также выбирается l уровней. Выбор комбинации уровней факторов выполняется на основе специальной процедуры, которую мы рассмотрим на примере.

Пусть в эксперименте используется первичный фактор А и два вторичных фактора - В и С, число уровней факторов l равно 4. Соответствующий план можно представить в виде квадратной матрицы размером l х l (4 х 4) относительно уровней фактора А. При этом матрица строится таким образом, чтобы в каждой строке и в каждом столбце данный уровень фактора А встречался только один раз.

В результате имеем план, требующий 4 х 4 = 16 прогонов, в отличие от ПФЭ, для которого нужно 4³ = 64 прогона.

3. Эксперимент с изменением факторов по одному. Суть его состоит в том, что один из факторов «пробегает» все l уровней, а остальные n-1 факторов поддерживаются постоянными. Такой план обеспечивает исследование эффектов каждого фактора в отдельности. Он требует всего N = li+ І2+ + Із+... Ik прогонов.

Для рассмотренного выше примера (3 фактора, имеющие по 4 уровня) N = 4 + 4 + 4 = 12.

Еще раз подчеркнем, что такой план применим (как и любой ЧФЭ) только при отсутствии взаимодействия между факторами.

4. Дробный факторный эксперимент. Каждый фактор имеет два уровня - нижний и верхний, поэтому общее число вариантов эксперимента N = 2^k, где k - число факторов.

Планы, построенные по такому принципу, обладают определенными свойствами (симметричность, нормированное^, ортогональность и ротатабельность), обеспечивающими повышение качества проводимых экспериментов.

Пример латинского плана

Матрица плана дробного факторного эксперимента для k = 2

Матрица плана дробного факторного эксперимента для k = 3