Передаточная функция
Понятие передаточной функции динамического элемента связано с операторным методом решения дифференциального уравнения. Суть метода состоит в сведении решения дифференциального уравнения к решению алгебраического уравнения.
В основе метода — переход от первоначальных функций времени x(t), y(t) к их образам X(s), Y(s) — преобразованиям Лапласа этих функций. Необходимые свёдения о преобразованиях Лапласа даны в Приложении 1, здесь же напомним только определение преобразования Лапласа для некоторой Функции f(t):
Образ производной можно найти по образу функции:
В табл. 1.1 приведены преобразования Лапласа некоторых функций.
Таблица 1.1. Преобразования Лапласа типовых функций
Применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения динамического элемента (1.2.1) (пользуясь формулой (1.2.9) для образа производных):
Передаточной функцией G(s) динамической системы (подсистемы, элемента) называется отношение образа выхода к образу входа при нулевых условиях.
Из (1.2.10) видно, что передаточная функция линейного динамического элемента является дробно-рациональной функцией параметра s. Например, передаточная функция инерционного звена равна (см. (1.2.3))
В передаточной функции динамической системы (подсистемы, звена) содержатся все сведения о ее поведении при нулевых начальных условиях. В самом деле, по входу x(t) находим его образ A'(s), затем умножаем этот образ на передаточную функцию, тем самым получаем образ выхода Y(s) = G(s)X(s) и, наконец, пользуясь либо табл. 1.1, либо непосредственно формулой (1.2.8), определяем выход у (Г). Если начальные условия ненулевые, то к этому решению еще добавится «шлейф», образ которого — R(s).