Операторный метод решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Операторный метод основан на использовании преобразований Лапласа входящих в уравнение функций времени.

Преобразованием Лапласа некоторой функции /(/) называется следующий интеграл от функции /(/), зависящий, вообще говоря, от комплексного параметра s:

Преобразование Лапласа осуществляет отображение временнбго пространства (пространства функций времени) в пространство образов или частотное пространство.

Для обратного преобразования из частотного пространства во временнбе справедливо выражение

■ч.

Преобразование функции и ее производной связаны следующим образом (интегрируем по частям):

Применив преобразование Лапласа к уравнению (ПЛЛ) с постоянными коэффициентами и при нулевых начальных условиях, получим следующее алгебраическое уравнение:

как частное от деления образа правой части на характеристический многочлен уравнения, в который вместо А, подставлен параметр преобразования s.

Зная образ решения К(Л, можно найти само решение y(t) либо непосредственно по формуле обратного преобразования (ПЛ.6), либо по таблице преобразований Лапласа (в гл. 1 приведена табл. 1.1 преобразований Лапласа от некоторых наиболее употребляемых в макроэкономических исследованиях функций).