Нелинейная динамическая модель Кейнса

Метод линеаризации рассмотрим на примере нелинейной модели Кейнса как нелинейного динамического звена первого порядка:

т.е.

Пусть при t = 0 инвестиции были равны /о и система находилась в некотором равновесном состоянии (уо, А))> первая компонента которого определяется из уравнения (инвестиции А) считаются известными)

Представим ВВП в виде суммы постоянной и переменной частей:

Переменная часть г|(/) удовлетворяет уравнению

Если приращение инвестиций А/ сравнительно мало, то при эволюторном характере функции /(у, I) переменная часть т^(/) также сравнительно мала. Поэтому правую часть (1.5.7) можно разложить в окрестности точки (уо, А)) ^в ряд Тейлора, отбросив члены второго и более высоких порядков:

После перенесения члена, содержащего щ в левую часть и деле-

Из (1.5.8) вытекает, что переменная часть ВВП будет вести себя следующим образом:

а ВВП в целом будет изменяться как функция

При этом новое равновесное состояние ВВП

Учет сбережений населения в упрощенной модели Кейнса

Выше нами была рассмотрена процедура линеаризации нелинейной односвязной системы.

Для описания модели, как и ранее, введем следующие обозначения:

Спрос на деньги растет с ростом ВВП (денег должно быть столько, чтобы их с учетом оборота хватило для покупки произве-

Тогда модель делового цикла Кейнса можно записать в следующем виде:

Система (1.5.9) имеет естественную точку равновесия, определяемую как решение системы двух нелинейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными:

Тогда в окрестности нулевой точки система (1.5.9) запишется в следующем виде:

Система (1.5.11) — это линейная двухсвязная система с точностью до членов о(и). Как описано в § 1.4, будем искать ее решение в виде

После подстановки выражений (1.5.12) в систему (1.5.11) получим с точностью до о(м):

Для того чтобы линейная система двух однородных алгебраических уравнений относительно щ,и₂ имела ненулевое решение, необходимо, чтобы ее определитель был равен нулю:

Таким образом, получим характеристическое уравнение линеаризованной двухсвязной системы:

которое имеет следующее решение:

Чисто математическую сторону исследования в соответствии с § 1.4 выполним при следующих типовых обозначениях:

Тогда с учетом введенных типовых обозначений и при отбрасывании членов о(и) система из двух линейных однородных дифференциальных уравнений (1.5.11) запишется следующим образом:

Применив преобразование Лапласа с параметром s к обеим частям уравнения (1.5.15), получим

Отсюда

Находим по правилу обращения матрицы

Подставив выражение для обратной матрицы в (1.5.16), Получаем

откуда

Выражения (1.5.19) — это образ решения системы (1.5.15) при

линейной двухсвязной системы (1.5.15) на импульсное воздействие

стояние покоя.

Поведение системы, как это видно из полученного образа решения (1.5.19), зависит от корней характеристического многочлена,

Корни мнимые. Деловой цикл Кейнса. Если

Таким образом, система будет описывать замкнутый цикл, на-

Рис. 1.20. Деловой цикл Кейнса

Вернемся к экономической интерпретации условий возникновения делового цикла Кейнса. Прежде всего рассмотрим условие (1.5.20), записав его в виде

т.е. скорость роста (по ВВП) спроса на инвестиции должна быть больше соответствующей скорости сбережений, кроме того, должно выполняться равенство

Условие отрицательности дискриминанта

выполняется, по крайней мере, тогда, когда

т.е. скорость роста (по ВВП) реальных инвестиций выше скорости роста спроса на деньги, а скорость падения (по норме процента) спроса на деньги выше скорости падения реальных инвестиций.

Корни комплексные. Если дискриминант характеристического уравнения (1.5.14) отрицателен, то корни уравнения комплексные взаимно сопряженные:

В этом случае поведение системы зависит от знака действительной части корней:

• если знак положителен, то имеют место автоколебания с экспоненциально возрастающей амплитудой, и система удаляется от точки равновесия;

• если знак отрицателен, то имеют место автоколебания с экспоненциально убывающей амплитудой, и система возвращается в точку равновесия.

Докажем это.

до нуля. Поведение системы в том и другом случаях показано на рис. 1.21 (пунктиром показан разделительный цикл).

Рис. 1.21. Фазовые траектории системы при комплексных корнях характеристического уравнения

Вернемся к содержательной интерпретации условий возникновения рассматриваемой ситуации. Основное условие — отрицательность дискриминанта, что эквивалентно неравенству

Необходимым условием выполнения (1.5.24) является положительность левой части данного неравенства:

или

Последнее неравенство выполняется, по крайней мере, в том случае, когда

т.е. спрос на деньги растет (по у) быстрее, чем реальные инвестиции, а реальные инвестиции падают (по г) быстрее, чем спрос на деньги.

Если дискриминант отрицателен, то поведение системы целиком определяется знаком действительности части корней

В этом случае система в результате затухающих колебаний вернется в первоначальное состояние равновесия (у_{), г₀).

Корни действительные. Если дискриминант характеристического уравнения положителен, то оба корня действительны, поэтому

Снова вернемся к содержательной интерпретации условий возникновения рассматриваемой ситуации. Основное условие — положительность дискриминанта, т.е. выполнение неравенства

Последнее неравенство эквивалентно следующему (в круглые скобки взяты заведомо положительные величины):

Рис, 1.22. Фазовые траектории системы при действительных корнях характеристического уравнения

Неравенство (1.5.26) будет выполняться, по крайней мере, в том случае, когда

что возможно.

Выводы. Подведем итоги. Нелинейная динамическая система (1.5.9) имеет точку равновесия ^₀,г₀, являющуюся решением системы из двух нелинейных алгебраических уравнений:

В результате некоторого импульсного воздействия система была «выбита» из состояния равновесия у₀, г₀ в некоторое другое со-

весного состояния.

Для изучения дальнейшего поведения системы (1.5.9) она была линеаризована, т.е. заменена приближенно линейным аналогом (1.5.15) — линейной двухсвязной системой, в которой

Поведение линеаризованной системы определяется типом корней характеристического уравнения

которое является квадратным алгебраическим уравнением:

то варианты поведения реальной системы охватывают лишь часть вариантов поведения линейной двухсвязной системы, однако было показано, что возможна реализация всех описанных типов поведения.

Экономика в форме модели Солоу как односвязная нелинейная динамическая система

Снова вернемся к рассмотрению модели Солоу, поскольку она выполняет роль базовой. Напомним, что в абсолютных показателях эта модель имеет вид:

где у — ВВП;

/ — инвестиции;

С — фонд потребления;

К — ОПФ;

L — число занятых;

р — коэффициент износа;

v — темп прироста числа занятых.

Структурная схема этой модели уже приводилась в § 1.1. На рис. 1.23 представим ее в следующем виде.

Рис. 1.23. Структурная схема модели Солоу

Из рис. 1.23 видно, что входом в систему служит число занятых L, выходом — фонд потребления С, поэтому данная система односвязная. В структуре системы имеется контур обратной связи, который образуется из нелинейного статического элемента у = F(K, L), распределительного линейного статического звена у = I + С и

Поэтому ВВП как функция ОПФ и числа занятых

будет возрастать за счет роста как фондов, так и числа занятых. По достижении фондами установившего значения Кр рост ВВП продолжится только за счет роста числа занятых:

Поскольку ОПФ удовлетворяют уравнению инерционного звена

то как решение этого уравнения (которое было получено и исследовано в § 1.2) фонды будут изменяться следующим образом:

После этого по отмеченным выше соображениям (падение фондовооруженности и удельного потребления) через некоторое время снова потребуется увеличить ежегодные инвестиции.

Интересно отметить, что при рассмотренном варианте регулирования в течение всего переходного процесса норма накопления

убывает:

поскольку числитель постоянен, а знаменатель растет.

1.6.