§2. Математические схемы (модели)
Существуют следующие математические схемы (модели):
• непрерывно-детерминированные (D-схемы);
• дискретно-детерминированные (F-схемы);
• дискретно-стохастические (Р-схемы);
• непрерывно-стохастические (Q-схемы).
К непрерывно-детерминированным моделям относятся модели, описываемые системами обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений в частных производных. В качестве независимой переменной, от которой зависят неизвестные искомые функции, обычно служит время. Тогда вектор-функция искомых переменных будет непрерывной. Математические схемы такого вида отражают динамику изучаемой системы и поэтому называются D-схемами (англ. dynamic).
К дискретно-детерминированным моделям относятся так называемые конечные автоматы. Автомат можно представить как некоторое устройство, на которое подаются входные сигналы и снимаются выходные и которое может иметь некоторые внутренние состояния. У конечного автомата множество входных сигналов и внутренних состояний является конечным множеством. Название F-схема происходит от англ. finite automata.
К дискретно-стохастическим моделям относятся вероятностные (стохастические) автоматы, или по-английски probabilistic automat. Отсюда название Р-схема. В общем виде вероятностный автомат можно определить как дискретный потактный преобразователь информации с памятью, функционирование которого в каждом такте зависит только от состояния памяти в нем и может быть описано стохастически.
Примером типовой схемы непрерывно-стохастического типа может служить схема системы массового обслуживания (СМО), или по-английски queueing system. Отсюда название Q-схема.
В качестве процесса обслуживания в СМО могут быть представлены различные по физической природе процессы функционирования экономических, производственных, технических и других систем, например потоки товаров, потоки продукции, потоки деталей, потоки клиентов и т.п.
Для любой системы массового обслуживания (рис. 2.2) характерно наличие трех отличительных свойств:• объектов, у которых может возникнуть потребность в удовлетворении некоторых заявок;
• агрегатов, предназначенных для удовлетворения заявок на обслуживание;
• специальной организации приема в систему заявок и их обслуживания.
Каналы
обслуживания
Рис. 2.2. Схема системы массового обслуживания
Совокупность заявок рассматривают как поток событий, т.е. последовательность событий, происходящих в случайные моменты времени. Время обслуживания заявки также считается случайной величиной.
Из-за совместного действия этих двух случайных факторов количество обслуженных заявок в заданном интервале времени является величиной случайной. Так как поток заявок и время обслуживания случайные величины, значит, количество заявок, обслуженных в заданном интервале времени, - случайная величина (рис. 2.3).
Входящий поток заявок
Рис. 2.3. Временная диаграмма СМО
Исследование моделей СМО ставит целью установление параметров случайных величин, характеризующих процесс обслуживания заявок.
Существует несколько разновидностей СМО:
1) по числу каналов обслуживания СМО делятся на одноканальные и многоканальные;
2) по числу фаз (последовательно соединенных агрегатов) - на однофазные и многофазные;
3) по наличию обратной связи - на разомкнутые (с бесконечным числом заявок) и замкнутые (с конечным числом заявок);
4) по наличию очереди - на системы без очередей (с потерями заявок), системы с неограниченным ожиданием (по времени или длине очереди) и системы с ограниченным ожиданием (по времени или длине очереди);
5) по принципу формирования очередей - на системы с общей очередью и системы с несколькими очередями;
6) по наличию отказов - на системы с отказами и системы без отказов;
7) по виду приоритета - на системы со статическим приоритетом (обслуживание в порядке поступления заявок) и системы с динамическим приоритетом, который, в свою очередь, имеет три разновидности:
• относительный приоритет (заявка высокого приоритета ожидает окончания обслуживания заявки с более низким приоритетом);
• абсолютный приоритет (заявка высокого приоритета при поступлении немедленно вытесняет заявку с более низким приоритетом);
• смешанный приоритет (если заявка с низшим приоритетом обслуживалась в течение времени, меньше критического, то используется абсолютный приоритет, в противном случае - относительный приоритет).