Линейный динамический элемент

Поскольку динамическая система имеет в своем составе хотя бы один динамический элемент, а статический элемент является частным случаем динамического, то вначале целесообразно изучить поведение динамического элемента.

Нелинейный динамический элемент п-то порядка задается уравнением вида

Наиболее часто в практических приложениях встречаются элементы нулевого порядка (мультипликатор, акселератор), первого порядка (инерционное звено) и второго порядка. Звено второго порядка может быть либо колебательным звеном, либо двумя последовательно соединенными инерционными звеньями.

В частности, линейный динамический элемент п-го порядка задается линейным дифференциальным уравнением

Мультипликатор

Мультипликатор — линейное статическое звено, задаваемое уравнением

Например, валовые инвестиции / как вход следующим образом связаны с валовым внутренним продуктом Y как выходом:

Таким образом, в широком смысле мультипликатор — усилительное линейное статическое звено, в узком смысле — сам коэффициент усиления.

Акселератор

Акселератор — дифференцирующее звено нулевого порядка, выход которого пропорционален скорости входа.

Например, инвестиции могут быть выражены через скорость изменения ВВП следующим обоазом:

(Содержательный смысл постоянной времени Т будет выяснен ниже.)

Уравнение (1.2.2) можно привести к стандартному виду путем деления его на а₀^:

При дискретности времени At или At = 1 (один год) то же уравнение выглядит следующим образом:

Инерционное звено задается дифференциальным уравнением первого поиядка

Инерционное звено описывает процесс «отработки» заданного входного воздействия x(t) (значок «~» опустим), таким образом, что скорость «отработки» пропорциональна разности между входом и выходом:

приходим к уравнению инерционного звена:

В соответствии с теорией линейных дифференциальных уравнений (см. Приложение 1) общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного.

Общее решение однородного уравнения

имеет вид:

Подставив его в (1.2.5), получим:

Поскольку частным решением неоднородного уравнения (1.2.4) является у = х, то общее решение этого уравнения примет вид:

Константу С находим из начального условия

поэтому окончательно имеем

Переходный процесс освоения производственных мощностей, описываемый этим решением, завершается выходом на заданный размер мощности

Общая картина переходного процесса показана на рис. 1.4.

Рис. 1.4. Переходный процесс освоения производственных мощностей

1> Пример 1.3. Модель установления равновесной цены. В модели рассматривается рынок одного товара, время считается непрерывным, спрос d и предложение s линейно зависят от цены:

Основное предположение модели состоит в том, что изменение цены пропорционально превышению спроса над предложением:

т.е. в случае действительного превышения спроса над предложением цена возрастает, в противном случае — падает.

Из основного предположения модели вытекает следующее дифференциальное уравнение для цены:

ния прямых спроса и предложения). 1аким ооразом, цена как выход инерционного звена ведет себя так, как это показано на рис. 1.4. ►