Линейные многосвязные динамические системы. Динамическая модель Леонтьева
Многосвязная система линейна, если производная любой фазовой переменной линейно зависит от фазовых переменных:
Любая односвязная линейная система может быть представлена в форме линейной многосвязной системы.
Например, линейный динамический элемент «-го порядка, заданный уравнением
В матричном виде система уравнений (1.4.1) может быть записана в следующем виде:
Поскольку рассматриваемые системы, задаваемые уравнениями (1.4.1) или (1.4.2), линейны, то к их исследованию может быть применен математический аппарат, аналогичный использованному для односвязных линейных систем.
В частности, если применить преобразование Лапласа к обеим частям матричного уравнения (1.4.2), то получим (напомним, что
При переходе к многосвязным линейным системам все приемы анализа и синтеза систем, примененные для односвязных линейных систем, остаются в силе.
Многосвязная линейная система, как и односвязная, устойчива, если ее реакция на импульсное воздействие в форме функции Дирака затухает.
Импульсное воздействие на систему выводит ее из состояния покоя, после чего система (в случае устойчивости) должна возвратиться в состояние покоя. Исследование устойчивости сводится к исследованию поведения системы однородных дифференциальных уравнений при ненулевых начальных условиях (результат импульсного воздействия):
Согласно Приложению 1, общее решение однородного уравнения (1.4.4) имеет вид:
Следует заметить, что форма общего решения (1.4.5) имеет силу для разных характеристических корней.
Если же некоторые из них кратные, то надо внести изменения, указанные в Приложении 1.Как видно из (1.4.5), достаточным условием устойчивости линейной многосвязной системы является отрицательность действительных характеристических корней.
Экономика в форме динамического межотраслевого баланса как многосвязная линейная динамическая система
Статический межотраслевой баланс Леонтьева получается приравниванием чистых выпусков отраслей конечному спросу на продукцию отраслей[5]:
С экономической точки зрения соотношение (1.4.8) показывает разделение вектора валовых выпусков (а следовательно, и ка;ждый его компоненты) на т р и части:
Модель (1.4.7) с дискретным временем можно преобразовать ш модель с непрерывным временем следующим образом:
т.е. к форме линейной многосвязной системы, входом в которую служит вектор конечного производственного потребления c(t), а выходом — вектор валовых выпусков х(г).
имели отрицательные действительные части.
Например, при п = 1 соотношение (1.4.11) принимает вид:
Таким образом, для устойчивости экономики в форме динамического межотраслевого баланса достаточно (см. (1.4.6)), чтобы корни характеристического уравнения
Подобная картина имеет место и при п > 1, поэтому в модели баланса обязательно присутствуют ограничивающие факторы, которые действуют в реальной экономике. Это прежде всего ограниченные трудовые ресурсы. Если известна траектория трудовых ресурсов L(t), то текущий выпуск ограничен:
Кроме того, другим ограничивающим фактором являются природные ресурсы, добыча и вовлечение которых в производственный оборот по мере исчерпания наиболее экономически эффективной их части становятся все более затруднительными и менее эффективными.
1.5.