Колебательное звено

Колебательное звено задается дифференциальным уравнением второго порядка

Колебательное звено описывает циклические процессы в экономике.

Управлять интенсивностью поставок можно только по известному значению запаса y(t) (ведь интенсивность расхода неизвестна!).

Имеется два варианта управления:

1) изменение поставок пропорционально (с обратным знаком) величине запаса (при положительном запасе интенсивность поставок уменьшается, при отрицательном — увеличивается):

2) изменение интенсивности поставок пропорционально (с обратным знаком) как запасу, так и скорости его изменения:

(при положительном запасе интенсивность поставок уменьшается, при отрицательном — увеличивается, при положительной скорости роста запаса интенсивность поставок уменьшается, при отрицательной — увеличивается).

Первый случай. Взяв производную от обеих частей (1.2.12)

Или алгебраически:

Пусть на вход системы, находившейся в начальный'момент в состоянии равновесия х = 0, у = 0, >’'(0) = 0, начали поступать заявки

на товар с интенсивностью x(t) = х — const. Таким образом, интенсивность расхода можно представить, в виде графика, показанного на пис. 1.5.

Рис. 1.5. Интенсивность расхода

где %(t) — функция Хэвисайда.

Производная от функции Хэвисайда равна обобщенной функции Дирака 8(f), которая принимает бесконечно большое значение

Решим это уравнение операторным методом, применив преобразование Лапласа к обеим частям уравнения:

Из (1.2.15) находим преобразование Лапласа выхода y(t):

Таким образом, в первом случае при постоянной интенсивности расхода х запас y{t) будет испытывать незатухающие гармонические

При таких незатухающих колебаниях промежутки, когда имеется действительный запас y(t) > 0, будут чередоваться с промежутками дефицита y(t) < 0, что крайне отрицательно скажется на финансовом положении организации, отвечающей за систему управления запасами. Для того чтобы система управления запасами снова вошла в состояние равновесия, необходимо учитывать не только ве-

Рис.

Второй случай. Снова, как и в первом случае, берем производную от обеих частей (1.2.12) и подставляем в это выражение

го пооялка для запаса:

Его корни взаимно сопряженные комплексные с отрицательной действительной частью:

Если с момента времени t = 0 на вход системы стали поступать заявки на товар с постоянной интенсивностью x(t) = х = const, то уравнение (1.2.16), описывающее поведение системы, принимает вид

Снова решим это уравнение операторным методом. Имеем:

Рис. 1.7. Поведение запаса при поставке, пропорциональной запасу и скорости его изменения