Экономика в форме модели Самуэльсона—Хикса как линейное динамическое звено второго порядка
Модель Самуэльсона—Хикса отличается от динамической модели Кейнса введением в соотношение (1.2.6) акселератора (далее под у (г) будем понимать ВВП, поскольку большая буква У используется для обозначения образа выхода):
Данное уравнение имеет частное стационарное решение, по форме такое же, как и в модели Кейнса:
Общее решение уравнения равно сумме частного и общего решений однородного уравнения:
Исследование этого решения и тем самым исследование поведения экономики в форме модели Самуэльсона—Хикса приведено в§ 1.3.
Характеристики динамического звена
Все сведения о возможных вариантах поведения динамического звена содержатся в его уравнении. Эти же сведения в закодированном виде содержат характеристики звена. Основной характеристикой звена является передаточная функция. Выше было показано, как с помощью передаточной функции по заданному входу найти выход. Точно такое же назначение имеют и другие характеристики.
Импульсной характеристикой (функцией) называется ответная (выходная) реакция динамического звена на импульсное входное воздействие в форме функции Дирака Ъ{1).
Поскольку образ функции Дирака
то образ импульсной характеристики
— обратное преобразование Лапласа.
Переходной характеристикой (функцией) называется ответная реакция динамического звена на ступенчатое входное воздействие в форме функции Хэвисайда %(t).
Поскольку образ функции Хэвисайда
то образ переходной функции:
Поэтому сама переходная функция
Частотная характеристика задает установившуюся реакцию динамического звена в форме вынужденных автоколебаний на синусоидальное входное воздействие sin шг и равна G(io>).
Амплитуда выходных колебаний равна |G(/'ca)|, а сдвиг по фазе Ф = arg[G(/ca)].
[> Пример 1.5. Характеристики инерционного звена. Напомним, что инерционное звено задается уравнением (1.2.3):
передаточная функция которого
Найдем импульсную характеристику звена, т.е. реакцию на импульсное входное воздействие в форме функции Дирака 5(/). По-
Итак, если на вход находящегося в начальный момент в покое инерционного звена подано импульсное воздействие, то после затухающего экспоненциально переходного процесса звено снова возвратится в состояние покоя. График переходного процесса (импульсной функции) показан на рис. 1.8.
Рис. 1.8. Импульсная функция инерционного звена
Переходная функция как реакция на единичное ступенчатое воздействие -у(/) имеет своим образом (см. выше)
поэтому сама переходная функция как прообраз равна (вновь используем табл. 1.1)
Следовательно, после завершения экспоненциального переходного процесса инерционное звено перейдет в новое состояние равновесия
График переходной функции инерционного звена представлен на рис.
1.9.
Рис. 1.9. Переходная функция инерционного звена
Теперь найдем реакцию инерционного звена на синусоидальное входное воздействие sin со/ по табл. 1.1:
поэтому образ выхода
Последнее выражение можно представить в виде
и по табл. 1.1 найти его прообраз (реакцию системы на синусоидальное воздействие):
Первое слагаемое — быстро затухающий экспоненциальный переходный процесс, второе и третье слагаемые — вынужденные гармонические колебания.
Итак, в результате указанного воздействия на выходе по завершении переходного процесса установятся вынужденные автоколебания:
Все сведения об амплитуде и сдвиге по фазе вынужденных автоколебаний по отношению к синусоидальному входу содержатся в частотной характеристике. Действительно,
Рис. 1.10. Установившиеся автоколебания на выходе инерционного звена в ответ на входное гармоническое воздействие
1.3.