Анализ и синтез динамических систем. Устойчивость динамических систем. Устойчивость и синергетика модели Самуэльсона—Хикса
Анализ динамической системы — это разбиение системы на элементы и установление связей между ними. [3] [4] элемента поступает на вход управляемого элемента, выход последнего является выходом соединения. Рис. 1.11. Последовательное соединение Рис. 1.12. Параллельное соединение Рис. 1.13. Контур обратной связи Синтез динамической системы заключается в построении (проектировании) системы с требуемыми свойствами либо возможно близкими к требуемым. Например, наиболее частым и важным является требование устойчивости системы. Первый шаг в этом направлении — определить характеристики системы по характеристикам составляющих ее элементов. Решив эту первую задачу, можно подойти и к решению основной: меняя состав системы, взаимосвязи между элементами и характери- стики элементов, можно из всех возможных вариантов выбрать такую систему, характеристики которой ближе всего к желаемым. Поскольку основными соединениями элементов в системе являются последовательное, параллельное и контур с обратной связью, то прежде всего необходимо уметь находить характеристики этих соединений. Но все характеристики элементов и систем определяются по передаточной функции, поэтому задача сводится к нахождению передаточной функции соединения по передаточным функциям составляющих его звеньев. Передаточная функция последовательного соединения Последовательное соединение показано на рис. 1.11. Согласно определению передаточная функция есть отношение образов выхода и входа, поэтому Таким образом, передаточная функция последовательно соединенных элементов равна произведению их передаточных функций. [> Пример 1.6. Модель ввода и освоения производственных мощностей. Выше было показано, что процесс освоения введенных производственных мощностей можно описать в форме инерционного звена. Если принять, что процесс ввода мощностей также можно описать с помощью инерционного звена, то объединенный процесс ввода и освоения мощностей, таким образом, подобен двум последовательно соединенным инерционным звеньям с постоянными времени Гь Т2, где 1\, 7^ — длительности соответственно ввода и освоения примерно двух третей мощности. Передаточная функция этого последовательного соединения поскольку где х — полный объем вводимой и осваиваемой мощности. Представим дробно-рациональное выражение образа выхода в виде отдельных простых дробей: Коэффициенты дробей определим при приведении их к общему знаменателю: откуда (приравниваем нулю коэффициенты при jhj2, а коэффициент при ^ — единице) Окончательно получаем следующее выражение для введенной и освоенной мощности: которое достаточно быстро сходится к полной мощности х. ► Передаточная функция параллельного соединения Из рис. 1.12 видим, что Таким образом, передаточная функция параллельно соединенных элементов с суммирующим звеном равна сумме {разности) передаточных функций элементов. Передаточная функция замкнутого контура с обратной связью Из оис. 1Л 3 видно, что поэтому Отсюда
