Альтернативный способ определения технологического оптимума
этому в их изменении имеется три степени свободы. Технологический оптимум определяется в результате решения задачи нелинейного программирования (3.2.1)—(3.2.5).
В § 3.2 было найдено субоптимальное решение этой задачи.Альтернативный способ определения технологического оптимума состоит в сведении задачи нелинейного программирования к задаче на безусловный экстремум и базируется на следующей форме распределения ресурсов:
поэтому материальный баланс приобретет следующую форму.
Таким образом, в случае распределения (3.3.19) задача определения технологического оптимума сводится к следующей задаче: найти
то уравнение материального баланса (3.3.21) имеет единственное решение
поскольку левая часть монотонно убывает, а правая часть линейно возрастает с ростом h.
Подставив зависимость (3.3.23) в функцию цели, приходим к следующей задаче на безусловный максимум:
Для решения последней задачи применяем обычные необходимые условия безусловного экстремума:
Частные производные остаточной доли h определяем по уравнению материального баланса:
Подставив найденные значения производных в (3.3.25), получим следующие уравнения для определения координат точки технологического оптимума:
Полученная система уравнений (3.3.28) нелинейна относительно неизвестных /, 0Ь $1, поскольку удельные выпуски нелинейны относительно этих неизвестных.
Однако в явном виде первое уравнение является линейной функцией относительно неизвестного /, второе уравнение — относительно 0Ь третье — относительно s\. Воспользовавшись этим обстоятельством, разрешим каждое уравнение относительно соответствующей переменной:
Соотношения (3.3.29) — неявное решение уравнений (3.3.28), во всяком случае, это эквивалентная форма данных уравнений, более
чающихся от координат точки технологического оптимума, зачастую приводит к выходу за пределы допустимой области и прерыванию процедуры.
Чтобы избежать подобной ситуации, необходимо подобрать начальное значение как можно ближе к точке технологического оптимума. Для этого вначале продвигаемся по траектории с одинаковыми пропорциями в распределении ресурсов до точки локального максимума, которую и принимаем за начальную, после чего осуществляем итерационную процедуру последовательно по параметрам
D> Пример 3.3. Определение точки технологического оптимума альтернативным способом. Применим альтернативный способ определения технологического оптимума для тех же исходных данных, что и в примерах 3.1, 3.2.
В примере 3.2 был найден локальный максимум при движении по траектории с одинаковыми пропорциями при определении ресурсов. Координаты (свободные) точки локального максимума принимаем за начальные значения свободных пеоеменных:
При этих значениях свободных переменных удельные выпуски
поэтому
По формулам (3.3.29) находим
и далее последовательным применением этих формул приходим к глобальному максимуму уже на 4-й итерации, как это показано в табл.
3.5 и на рис. 3.5 (цифрами указаны номера итераций).Глобальный максимум достигается при следующих значениях свободных переменных:
При этом /г = 0,5, поэтому точка глобального максимума имеет
следующие координаты:
Таблица 3.5. Значения свободных переменных и удельных выпусков по итерациям (тыс. руб./чел.)
Рис. 3.5. Итерационное движение на плоскости (0|,л-,) в направлении точки глобального максимума
Глобальный максимум равен 29,3 тыс. руб./чел., в то время как субоптимальное значение — 28,8 тыс. руб./чел. ►
Из проведенного теоретического исследования стационарных сбалансированных состояний трехсекторной экономики и из при-
дут себя следующим образом:
• удельные выпуски секторов, производящих средства производства, монотонно растут по каждой переменной;
• удельный выпуск предметов потребления по каждой переменной имеет локальный максимум, при этом вся поверхность удельного выпуска имеет куполообразный характер с пологими склонами.
Поэтому продвижение к точке глобального максимума сопровождается все бблыпими расходами (выпуском) средств производства на каждую новую единицу выпуска предметов потребления. Таким образом, нецелесообразно вплотную приближаться к точке глобального максимума. Однако знать эту точку необходимо для того, чтобы суметь определить направление наиболее целесообразного движения в пространстве свободных переменных.
Вопросы и задания
1. Почему субоптимальное решение задачи на максимум удельного выпуска предметов потребления, найденное в § 3.2, не является глобальным максимумом?
тимальнои точке.
3. Найдите локальный максимум удельного выпуска предметов потребления при движении в пространстве ресурсов по траектории с фиксированными пропорциями в долях ресурсов, направляе-
