<<

6.3.4. Опцион колл—пут

Здесь речь идет об оценке опциона, который позволяет своему владельцу по истечении двух периодов по цене К = 340 руб. выборочно или купить, или продать акцию (опцион колл—пут). Акция котируется сегодня по цене So = 320 руб., причем все участники рынка предполагают, что этот титул в каждом периоде или повышается на 8 %, или снижается на 2 %.
Кроме того, в первом (втором) периоде обращается облигация по цене Во = 100 (Ві = 106), которая через год породит гарантированные возвратные потоки величиной в 106.00 (112.36). Значит, безрисковая ставка процента составляет постоянно Г} — 0.06. Сконструируйте из акции и безрисковой облигации портфель, который эквивалентен опциону колл—пут и определите цену этого портфеля.

Опцион, который может использоваться выборочно как опцион колл или опцион пут, «обещает» в момент времени t = 2 зависимые от ситуации денежные потоки величиной в

С цифрами из нашего примера это означает, что

Оии = 33.25, Odu = Oud = 1.31, Odd = 32.67.

В момент времени t = 1 опцион колл и пут не порождает ни доходов, ни расходов, так как он относится к европейскому типу, а значит,

Ou = Od = 0.

Для того чтобы суметь сконструировать эквивалентный портфель из акции и безрисковой инвестиции, мы будем использовать следующие символы для обозначения структурных переменных эквивалентного портфеля:

«6,0 — количество акций, оборачивающихся в t = О, пв,о — количество облигаций, оборачивающихся в t ~ О, rig j — количество акций, держащихся в t — 1 в ситуации и, ns і — количество акций, держащихся в t — 1 в ситуации d, Пд j — количество облигаций, держащихся в t = 1 в ситуации и, iig j — количество облигаций, держащихся в t = 1 в ситуации d.

При использовании этих символов можно составить и решить три системы уравнений.

При этом мы как бы «двигаемся назад во времени».

(1) Рассмотрите рис. 6.5 и сконцентрируйте внимание на окаймленном участке. Вы находитесь в моменте времени t — 1, и курс акций по-высился до Sou. В этой ситуации вы можете быть убеждены, что курс акции в момент времени t = 2 или повысится до Sou2, или снизится до S0ud. Это одновременно означает, что опцион колл—пут тогда породит денежные ПОТОКИ ИЛИ В объеме Оии, ИЛИ в объеме Oud. Нам сейчас нужно при действующих здесь условиях сконструировать из акции и облигации портфель, который в момент времени t = 2 породит в точности те же денежные .потоки, что и опцион колл и пут,

Рис. 6.5. Курс акций в биномиальной модели

Рис. 6.5. Курс акций в биномиальной модели

а именно Оии и Oud¦ Если далее учесть, что облигация в момент времени t = 1 котируется по цене В\ и один период позднее даст гарантированные возвратные потоки в объеме В] (1 +?•/•), тогда система уравнений для определения структурных переменных эквивалентного портфеля будет выглядеть следующим образом:

Sbu\f ¦ , + В: (1 + rf) ¦ п<;ІЛ = 0„п, Sou1 с/1 • +Bi( 1 + rj) ¦ u'j)A = О,,и,

или с конкретными данными из нашего примера

373.25 • ?(?л 4 112.36 • = 33.25, 338.69 ¦ п\х + 112.36 • п^', = 1.31,

из чего мы получаем решения п^ = 0.9241 и пип 1 = -2.7738. (2) Вторая система уравнений предполагает, что курс акции в момент времени t = 1 упадет до стоимости Sod. При этом условии эквивалентный портфель необходимо образовать так, чтобы он в момент времени t = — 2 при повторном снижении курса акции принял значение О,/,/, а при росте курса акции — значение 0,tu. Поэтому мы получаем

So^d1 • 741 + В,(1 + /•/)• 7,% ,=0„,/. Soul)d2 ¦ п$л + fij(l + Vf) ¦ н'/j , = О,

или с конкретными данными из нашего примера

338.69 • п^, + 112.36 • пиИЛ = 1.31, 307.33 • + 112.36 • п'Ііл = 32.67.

что приводит к решениям n'g j = -1.0000 и п''И , = 3.0260.

(3) С помощью обеих первых систем уравнения мы определили структуру эквивалентного портфеля, который следует выбрать нам в интересах дублирования нашего опциона в момент времени t — 1.

Естественно, для приобретения этого портфеля в соответствующий момент времени необходимы платежи. Но так как сам опцион колл—пут по истечении первого периода не порождает ни расходов, ни доходов, то эти платежи должны финансировать сами себя. Вследствие этого мы должны выбрать доли портфеля в момент времени t = 0 таким образом, чтобы связанные с ним в момент времени t — 1 доходы были бы в точности так же велики, как необходимые в этом моменте времени расходы. Это означает следующее:

л'0|/ ¦ 7v..s-.0 + В0( 1 + RJ) ¦ ППЛ) = 11-SA • sou + • ВИ

S()il ¦ lis.о + в{)( 1 + /•/) • 770,0 = n'^j ¦ S0d + ndBl ¦ Ви

Левая часть первой (второй) формулы описывает возвратные потоки из владения акциями и облигациями в момент времени t ~ 1 при условии, что курс акции повысился (понизился). В правой части находятся доходы, которые необходимы для финансирования (зависимых от си-туаций) эквивалентных портфелей в момент времени t 1. С учетом данных примера и промежуточных результатов для структурных переменных эквивалентного портфеля это означает:

.445.60 • /7.ЧД, + 106.00 ¦ иBt{) = 25.34.

313.60 ¦ ns.a + 106.00 ¦ 77Д.О = 7.15.

что, наконец, приведет к решениям п.у.о = 0.5683 и пц.о = —1.6138.

Имея эти числа, мы точно знаем, что необходимо делать сегодня (t — 0) и позже (t = 1) для того, чтобы посредством покупки и продажи акций и облигаций поставить себя в положение, которое в отношении ожидаемых денежных потоков никоим образом не отличается от приобретения опциона колл—пут. Цена приобретаемого сегодня портфеля составляет

"5.0 • s(> + пи.о ¦ Во = 0.5683 ¦ 320 - 1.6138 • 100 = 20.47,

и это число при условии свободного от арбитража рынка капитала должно в точности совпадать с ценой, которую инвестор обоснованно согласится заплатить за опцион колл—пут.

При помощи табл. 6.10 можно подтвердить, что наше решение действительно имеет желаемое свойство дублирования опциона колл и пут. Мы покупаем в момент времени ' = 0 акции в количестве 0.5683 и одновременно продаем без покрытия 1.6138 облигаций.

Это сегодня связано с чистыми расходами в объеме 20.47 руб. Рассмотрим для примера, что случится, если курс акции но истечении одного периода повысится. За счет держания акции мы получим доходы в объеме 0.5683,- 345.60 = 196.41 руб., в то время как продажа облигации без покрытия вынудит нас осуществить расходы

Таблица 6.10. Дублирование опциона колл и пут Количество Платежи в момент времени t = 0 t = і t = 2 При наступлении ситуации и d ии ud du dd ns,о = +0.5683 пв, о = —1.6138 n^ = +0.9241 пЪ,\ = -2-7738

nds д = -1.0000

ndB, і = +3.0260 -181.86 161.39 0.00 0.00 0.00 0.00 196.41 -171.06 -319.36 294.01 0.00 0.00 178.22 -171.06 0.00 0.00 313.60 -320.76 0.00 0.00 344.91 -311.66 0.00 0.00 0.00 0.00 312.97 -311.66 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

-338.69 340.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -307.33 340.00 -20.47 0.00 0.00 33.25 1.31 1.31 32.67

в объеме 1.6138- 106 = 171.06 руб. Таким образом, сальдо доходов оказывается равным 196.41 — 171.06 = 25.35 руб. Однако мы должны одновременно приобрести 0.9241 акций и продать 2.7738 облигаций. Поэтому для покупки акций мы осуществляем расходы в объеме 0.9241 • 345.60 = 319.36 руб., в то время как проданные без покрытия облигации приносят нам доходы в объеме 2.7738 106 = 294.01 руб. Сальдо расходов оказывается равным 319.36- — 294.91 = 25.35 руб., так что доходы и расходы в момент времени t = 1 совершенно выравниваются. Независимо от того, как изменяется курс акций во втором периоде из-за проданных без покрытия облигаций, мы осуществляем расходы величиной в 2.7738-112.36 = 311.66 руб. Если курс акции повышается, то мы за счет продажи акции получаем 0.9241 • 373.25 = 344.91 руб.; если, наоборот, курс акции снижается, то тогда наша выручка составляет лишь 0.9241 • 338.69 = 312.97 руб. В первом случае сальдо доходов оказывается равным 33.25 руб., во втором — 1.31 руб. Эти значения в точности совпадают с денежными потоками, которые может ожидать владелец опциона колл—пут при точно такой же динамике курса акции.

Литература

Фишер Блэк и Майрон Скоулз со своей известной работой «The pricing of options and corporate liabilities» (Journal of Political Economy. 1973. Vol. 81. P. 637-654) начали весьма плодотворный и долгосрочный процесс обсуждения оценки опционов и похожих финансовых титулов. Читатель, который хотел бы серьезно заняться теорией ценообразования опционов и ее разными применениями, должен обратиться к книге: Сод: J. С., Rubinstein М. Е. Options Markets. Englewood Cliffs (N.J.): Prentice-Hall, 1985. Выдающимся учебником об опционах и других производных финансовых титулах является также: Hull J. Options, Futures, and other Derivative Securities. 3rd ed. Englewood Cliffs (N.J.): Prentice-Hall, 1907. По поводу подхода, в основе которого лежит идея непрерывного времени, как и в модели Блэка—Скоулза, мы рекомендуем: Kruschwitz L., Schobel R. Eine Einftihrung in die Options- preistheorie // Das Wirtschaftsstudium. 1981. S. G8-72, 11C-121, 171-176.

<< |
Источник: Крушвиц Л, Шефер Д., Шваке М.. Финансирование и инвестиции. Сборник задач и решений / Пер. с нем. под общей редакцией 3. А. Сабова и A. Л. Дмитриева. — СПб: Питер,2001. — 320 е.: ил. — (Серия «Учебники для вузов»).. 2001

Еще по теме 6.3.4. Опцион колл—пут:

  1. 20.1. "КОЛЛЫ", "ПУТЫ" И АКЦИИ
  2. 20-2. РАЗЛИЧНЫЕ КОМБИНАЦИИ "КОЛЛОВ", "ПУТОВ" И АКЦИЙ
  3. 6.3.4. Опцион колл—пут
  4. 1. “КОЛЛЫ”, “ПУТЫ” И АКЦИИ
  5. 2. РАЗЛИЧНЫЕ КОМБИНАЦИИ “КОЛЛОВ”, “ПУТОВ” И АКЦИЙ
  6. 2.  Опционы колл и пут.
  7. 8.1.1. Опцион колл
  8. 9.1.1. Стоимость опционов колл к моменту истечения срока действия контрактов
  9. 9.1.3. Верхняя граница премии американского и европейского опционов колл
  10. 9.1.5. Нижняя граница премии европейского опциона колл
  11. 9.1.7. Нижняя граница премии американского опциона колл. Нецелесообразность досрочного исполнения американского опциона колл
  12. 9.2.1. Верхняя граница премии европейских и американских опционов колл и пут
  13. 9.2.2. Нижняя граница премии европейского и американского опционов колл
- Антимонопольное право - Бюджетна система України - Бюджетная система РФ - ВЭД РФ - Господарче право України - Государственное регулирование экономики России - Державне регулювання економіки в Україні - ЗЕД України - Инвестиции - Инновации - Инфляция - Информатика для экономистов - История экономики - История экономических учений - Коммерческая деятельность предприятия - Контроль и ревизия в России - Контроль і ревізія в Україні - Логистика - Макроэкономика - Математические методы в экономике - Международная экономика - Микроэкономика - Мировая экономика - Муніципальне та державне управління в Україні - Налоги и налогообложение - Организация производства - Основы экономики - Отраслевая экономика - Политическая экономия - Региональная экономика России - Стандартизация и управление качеством продукции - Страховая деятельность - Теория управления экономическими системами - Товароведение - Управление инновациями - Философия экономики - Ценообразование - Эконометрика - Экономика и управление народным хозяйством - Экономика отрасли - Экономика предприятий - Экономика природопользования - Экономика регионов - Экономика труда - Экономическая география - Экономическая история - Экономическая статистика - Экономическая теория - Экономический анализ -