<<
>>

4.1.4. Полная корреляция и кривая трансформации

Рассмотрите портфель, состоящий из бумаг 1 и 2, который показан в табл. 4.1. Определите кривую трансформации при условии, что продажи без покрытия запрещены.

Исходите из доходностей акций 2 и 3.

Определите кривую трансформации и покажите, что с портфелем из титулов 2 и 3 можно совершенно уничтожить риск без осуществления продаж без покрытия. Как велика

доля акций 2 в портфеле с минимальным риском?

* *

*

1. Кривая трансформации является геометрическим местом всех комбинаций «доходность—риск», которых инвестор может достичь посредством «смешивания» двух ценных бумаг. Каждой точке кривой трансформации соответствует «своя» структура портфеля. Вид кривой зависит от корреляции между доходностями ценных бумаг. В этой задаче предполагается совершенно положительная корреляция между доходностями акций 1 и 2. Мы хотим показать, что кривая трансформации в этом специальном случае имеет вид прямой линии. Для этого нам необходима сначала формула доходности и дисперсии для портфеля, состоящего из акций 1 и 2. Для ожидаемой доходности Е[гр] верно

Е[гР] =wE[n] + (1 - с^) Е[7~2] (4.6)

при UJ, являющейся стоимостной долей в портфеле акции 1. Дисперсия портфеля определена как

Var[fP] = lu2 Var^i] + (1 - to)2 Var[f2] + +2w (1 - w) Q12 Для специального случая полной положительной корреляции (и только для этого случая) Var[fp] является возведенным во вторую степень

средневзвешенным стандартным отклонением*

2

Var[?V] = <7[n] + (1 - ш) Если мы исключим возможность продажи без покрытия, ТО ДОЛЯ U1 . всегда находится в интервале [0,1]. Далее, так как не существует отрицательных стандартных отклонений, выражение в скобках в правой части должно быть положительным. Поэтому для стандартного отклонения мы получим

a\rp] =i/Var[?V] = w <т[гі] + (1 - w) (r\r2}. (4.7)

Если мы выразим формулу (4.G) через uj, то подстановка в (4.7) даст после преобразований

а[п] E[f2] -<т[г2] Е[т"і] E[nj ^ E[f2]

Е ?р = rz-, 7—j + —.— —Т П[Гр\.

а\гх\ - а[г2\ сг[г,} - о[г2\

Через подстановку цифр из табл.

4.2 можно рассчитать уравнение прямой линии

Е[гР] = -3.9942 + 23.34 <т[г/»].

Прямая линия в области 0.1739 < а[гр} < 0.1826 соответствует искомой кривой трансформации при полной положительной корреляции, если продажа без покрытия не допущена (см. рис. 4.3).

На самой северной точке портфель состоит на 100 % из ценной бумаги 2. На южном конце все имущество вложено в ценную бумагу 1. Точка Q отражает комбинацию «доходность—риск» для портфеля, которая состоит на 80% из бумаги 1 и на 20% из бумаги 2. Координаты Q мы получаем через

E[fQ] = 0.8 Е[п] + 0.2 Е[г2] = 0.1059

и

<т[г<з] = 0.8 Уничтожить риск при исключении продаж без покрытия невозможно, так как все достижимые позиции «доходность—риск» можно изобразить лишь как положительные линейные комбинации позиций «доходность—риск» обеих ценных бумаг.

Е М

0J 1 — LJ

Рис. 4.3. Кривая трансформации cg = l

0.25-

0.05-

0.0т ТІ.о

0.8- -0.2 1.0-1- 10.0

а[гР

0.16 0.17 0.18 0.19

Рис. 4.3. Кривая трансформации cg = l

2. Доходности акций 2 и 3 имеют коэффициент корреляции —1. Для того чтобы показать, что риск можно уничтожить полностью, мы используем две формулы

(4.8)

E[fp] = ш Е[Г2] + (1 - w) E[f3'

и

Но для выведения кривой трансформации мы сейчас предложим другой способ, отличающийся от способа, содержащегося в задаче 4.1.4,

Но для выведения кривой трансформации мы сейчас предложим другой способ, отличающийся от способа, содержащегося в задаче 4.1.4,

1. Выражение в скобках, которое мы должны возвести во вторую степень, может стать как положительным, так и отрицательным.
Но так как не существует отрицательных стандартных отклонений, их нужно исключить. Для этой цели мы в скобках учтем различие случаев и скомбинируем их со знаком перед скобкой таким образом, что резуль-тат в любом случае не станет отрицательным

Вначале мы определим для обоих случаев наклон кривой трансформации и после этого используем обе координаты (E[r2},(j{r2]) и (Е[гз], ст[гз]).

(4.9)

Вначале мы определим для обоих случаев наклон кривой трансформации и после этого используем обе координаты (E[r2},(j{r2]) и (Е[гз], ст[гз]).

Оказывается, что кривая трансформации сложена из двух прямых линий.

Случай 1. Знак выражения в скобках в (4.9) является положительным

(4.10)

a[fp] = и; сг[7~2] - (1 - ш) сх[г3].

Рис. 4.4. Кривая трансформации с д = — 1

Рис. 4.4. Кривая трансформации с д = — 1

Мы дифференцируем сначала (4.8) и (4.10) по ш и определяем после этого при учете

c>E[rp] _ dE\rr}/du> 0(т[гр] да[гр]/д ш наклон кривой трансформации. При

= E[f2] - Е[г;

ЭЕ[т~Р]

ди)

и

Oa\vp]

—=а[г2 +аг3

ULO

мы получим после подстановки значений из табл. 4.2

dE[fp] E[f2] - Е[г3]

т;—f—Т = г- 1 Г^Т = 0.6055.

а а[гр\ а[г2\ + еф-3]

Так как наклон постоянен, то кривая трансформации в случае 1 имеет вид прямой с положительным наклоном в форме Effp] = п + 0.6055 сх^р]. Случай 2. Знак выражения в скобках в (4.9) отрицателен. Наклон кри-вой трансформации определяется аналогично случаю 1. Он составляет

дЕЫ = Е[г-2]-ЕN = _0 б055 ДО[ГР] -А[Г2\ - <Т[Г3]

Мы получаем прямую линию вида E[rp] = а - 0.6055ст[гр]. Кривая возможных действий, очевидно, образуется из двух прямых линий по абсолютной сумме одинакового наклона.

Нам известны две координаты кривой. Они могут находиться на одной и той же прямой линии лишь при полной положительной корреляции, см. с. 152. При имею-

щемся здесь коэффициенте корреляции -1 мы можем исключить возможность того, что точки (Е[гг], сг[г2]) и (E[f3], ст[г3]) лежат на одном и том же отрезке прямой. Кроме того, так как продажи без покрытия не допущены, мы знаем, что обе координаты являются самыми восточными точками кривой трансформации в координатах «доходность— риск». Поэтому северная точка должна находиться на отрезке кривой трансформации с положительным наклоном, южная — на отрезке с отрицательным наклоном. После этих предварительных рассуждений мы можем по отрезкам определить кривую трансформации через подстановку соответствующих координат в общую формулу уравнения у = — а + Ьх. При

0.2685 = а + 0.6055 ¦ 0.1826

и

0.0584 = а - 0.6055 • 0.1644 для северного отрезка получим

Е[гР] = 0.1579 + 0.6055 сф'/.]

и для южного

Е[гр] = 0.1579 - 0.6055

Рис. 4.4 показывает комбинацию «доходность—риск», которая достижима при разных структурах портфеля. В общем отрезке ординаты обоих прямых при положительной ожидаемой доходности дано совершенное уничтожение риска. Здесь находится также портфель с наименьшей дисперсией. Для специального случая д2з — — 1 портфель с наименьшим риском приносит гарантированную (безрисковую) доходность. Структуру можно рассчитать, если приравнять к нулю (4.9) и выразить эту формулу через структурную переменную''

<ф~2] + <ф\з]

Портфель с наименьшим риском содержит на 47.37% ценную бумагу 2 и на 52.63 % ценную бумагу 3. Он приносит в каждой ситуации s одинаковую доходность

гРя = 0.4737 r2s + 0.5263 г3., = 0.1579.

<< | >>
Источник: Крушвиц Л, Шефер Д., Шваке М.. Финансирование и инвестиции. Сборник задач и решений / Пер. с нем. под общей редакцией 3. А. Сабова и A. Л. Дмитриева. — СПб: Питер,2001. — 320 е.: ил. — (Серия «Учебники для вузов»).. 2001

Еще по теме 4.1.4. Полная корреляция и кривая трансформации:

  1. Кривая трансформации или производственных возможностей человека
  2. 7-4. КАК ОТДЕЛЬНЫЕ ЦЕННЫЕ БУМАГИ ВЛИЯЮТ НА ПОРТФЕЛЬНЫЙ РИСК
  3. 4.1. Теория портфеля
  4. 4.1.3. Кривая трансформации в случае с двумя ценными бумагами
  5. 4.1.4. Полная корреляция и кривая трансформации
  6. 4.1.5. Кривая трансформации при трех ценных бумагах
  7. 4.1.6. Линия эффективности
  8. 4.1.8. Выбор портфеля при одном рисковом финансовом титуле
  9. 4.2.5. Оптимальный портфель, рыночная цена риска и семейство кривых трансформации
  10. 2.5. Производственные возможности обществаи их границы. Кривая производственныхвозможностей общества (кривая трансформации)
  11. Кривая трансформации
  12. Кривые безразличия
  13. 2. Основні економічні проблеми. Крива виробничих можливостей
  14. 2.6 Производственные возможности общества и  их границы. Кривая производственных возможностей общества (кривая трансформации). Альтернативные (вмененные) издержки. Закон возрастания альтернативных издержек.
  15. 9.2. Совокупное предложение. Краткосрочная и долгосрочная кривые совокупного предложения. Неценовые факторы совокупного предложения.
  16. Урок 6 Кривые действительных спроса и предложения. Установление равенства между спросом и предложением
  17. 4.1. Экономическая трансформация как непрерывный процесс видоизменений
  18. Свойства IS9 LM9 BP кривых
  19. Особые случаи формы кривых безразличия
- Антимонопольное право - Бюджетна система України - Бюджетная система РФ - ВЭД РФ - Господарче право України - Государственное регулирование экономики России - Державне регулювання економіки в Україні - ЗЕД України - Инвестиции - Инновации - Инфляция - Информатика для экономистов - История экономики - История экономических учений - Коммерческая деятельность предприятия - Контроль и ревизия в России - Контроль і ревізія в Україні - Логистика - Макроэкономика - Математические методы в экономике - Международная экономика - Микроэкономика - Мировая экономика - Муніципальне та державне управління в Україні - Налоги и налогообложение - Организация производства - Основы экономики - Отраслевая экономика - Политическая экономия - Региональная экономика России - Стандартизация и управление качеством продукции - Страховая деятельность - Теория управления экономическими системами - Товароведение - Управление инновациями - Философия экономики - Ценообразование - Эконометрика - Экономика и управление народным хозяйством - Экономика отрасли - Экономика предприятий - Экономика природопользования - Экономика регионов - Экономика труда - Экономическая география - Экономическая история - Экономическая статистика - Экономическая теория - Экономический анализ -