<<
>>

2.3.2. Квадратичная функция полезности и ожидаемая полезность

Обсудите проблематику квадратичной функции полезности в рамках теории ожидаемой полезности.

* * *

Рассмотрим квадратичную функцию полезности в форме"

U = —ах2 + Ьх при а, Ъ > 0. (2.23)

При Var[i] = Е[(х - Е[х])2] = Е[х2] - Е[.г]2 мы можем ее преобразовать в функцию ожидаемой полезности

Е[С/ (х)] = -а,Е[.ї2] + 6Е[і] =

= -a E[i:2] + 6 E[f] + a E[i:]2 - a E[i]2 = = -a (E[x2] - E[x]2) +6E[:?] -aE[if =

Var[.'c] = (a\i\)2

= U{E[i],a[x\).

Как легко можно увидеть, (2.23) предполагает, что лицо, принимающее решение, имеет отрицательную предельную полезность при уровне потребления х > Ь/2а.

Это не совсем правдоподобно, так как означало бы, что индивидуумы, если они уже достигли определенного уровня потребления, добровольно отказались бы от дальнейших требований на потребительские блага. Эмпирически такой феномен нельзя наблюдать. Может быть, для отдельных потребительских благ существуют границы насыщаемости. Так, например, трудно представить, что семья, состоящая из 5 человек и занимающая лишь 5 комнат, будет покупать более 5 телевизоров. Но существование границы насыщаемости для агрегата требований на потребительские блага, а значит, на имущество, не имеет никакой экономической правдоподобности. Следовательно, квадратичные функции полезности можно использовать лишь тогда, когда делается предположение, что область определения возможных распределений потребительских благ находится в области ненасыщаемости. Для всех исходов х должно быть верным

X < 6/2а.

Анализ кривых безразличия в системе Е[х]/а[.т] указывает на дальнейшую неправдоподобность. На любой кривой безразличия ожидаемая полез-

9 Естественно, мы можем анализировать и каждое линейно положительное монотонное преобразование (2.23): U'(x) = z + yU(x) — z — yax2 + ybx, причем необходимо соблюдение условия у > 0.

ность постоянна. Поэтому функцию ожидаемой полезности можно записать в форме

с = -аф}2 - а Е[.?]2 + ЬЕ[.г],

0= - +стЬ-]2 + Е[.т]2 - -Е[.г].

а а

Данная формула является общей формулой круга с координатой центра

Е[.т]„ = -^.

а[.г] = 0

и радиусом г = 1/2((—Ь/а)2 — 4г/«)1/,2.1П Наклон кривых безразличия будет рассчитан нами посредством приравнивания полного дифференциала

к нулю. При учете dU/dE[x] — U' = -2«Е[.т]+Ь и d2U/dE[x)2 = U" = -2а имеет место

dElx] -2шт[ї\ U" ... АТ,А . ,

—44 = - 1 ] = - —ста: = ARA ¦ а .т ,

da\x 1 -2aE[:r]+6 U' 1 J 1 J

причем ARA является коэффициентом Эрроу—Пратта абсолютной нерасположенности к риску. Семейство кривых безразличия изображено на рис. 2.4. Если мы дифференцируем ARA, то окажется, что квадратичная функция полезности характеризуется возрастающей абсолютной нерасположенностью к риску

dARA _ 4а2 dE{3;} ~ (Ь - 2аЕ[:г])2 >

Значит, лицо, принимающее решение, требует тем более высокую субъективную цену за риск, чем выше его начальный запас. Для того чтобы в этом убедиться, рассмотрим рис. 2.4. Для данного значения среднеквадратичного отклонения а[х)* можно начертить параллель к ординате. Точки пересечения вертикалей с соответствующими кривыми безразличия отражают относящиеся к определенным уровням полезности математические ожидания оцениваемых распределений потребности. Выберем для себя точку А на рис. 2.4. Соответствующий уровню полезности А гарантированный уровень потребления хя — это точка пересечения кривой безразличия и ординаты. Если сейчас начальный запас и, таким образом, гарантированный уровень потребления будут повышаться (движение вдоль ординаты), то тогда вертикальное расстояние между математическим ожиданием распределения потребительских благ (движение вдоль вертикали) и предоставляющим тот же уровень полезности гарантированным начальным запасом будет становиться все больше. Данное вертикальное расстояние представляет собой субъектив-

Для аргумента под корнем должно быть верным (—Ь/а)2 — 4с/а > 0.

Е[х]

Рис. 2.4. Семейство кривых безразличия квадратичной функции полезности

Рис. 2.4. Семейство кривых безразличия квадратичной функции полезности

ную цену риска, значит, ту скидку на математическое ожидание, которую инвестор готов принять, если риск полностью уничтожить. Скидка становится тем больше, чем богаче оказывается индивидуум в момент принятия решения. Из этого мы должны сделать вывод, что миллионер готов застраховать себя против данного риска, например потери 10 000 руб., в большей степени, чем индивидуум с маленькой зарплатой, но это представление совершенно неправдоподобно. Вследствие существенной неправдоподобности квадратичных функций полезности решающее значение приобретает другой достаточный критерий для совпадения между критерием ожидаемой полезности и критерием Е[.г]/сг[а:], а именно предпосылка нормально распределенных результатов.

<< | >>
Источник: Крушвиц Л, Шефер Д., Шваке М.. Финансирование и инвестиции. Сборник задач и решений / Пер. с нем. под общей редакцией 3. А. Сабова и A. Л. Дмитриева. — СПб: Питер,2001. — 320 е.: ил. — (Серия «Учебники для вузов»).. 2001

Еще по теме 2.3.2. Квадратичная функция полезности и ожидаемая полезность:

  1. Развитие хозяйских функций у работников наемного труда.
  2. Характеристическая функция игры
  3. ФУНКЦИЯ полезности как оценка отношения к риску
  4. 1.2.2. Ординалистская функция полезности
  5. 1.2.3. Кардиналистская функция полезности
  6. 2.1. Теория полезности в условиях существования риска
  7. 2.1.2. Вероятность безразличия и функция полезности
  8. 2.1.3. Функция полезности при нерасположенности к риску
  9. 2.1.5. Однозначность функции полезности
  10. 2.2.2. Функция полезности с варьирующим отношением к риску
  11. 2.3. Классические правила принятия решения
  12. 2.3.2. Квадратичная функция полезности и ожидаемая полезность
  13. Функции полезности и Санкт-Петербургский парадокс. Расчет оптимального инвестиционного портфеля.
  14. Хеджирование платежных обязательств в среднем квадратическом.
  15. 1. Потребительские предпочтения и предельная полезность. Функция полезности.
  16. 7.1. Количественный подход к анализу полезности и спроса
  17. ГЛАВА 8. ТЕОРИЯ ПОЛЕЗНОСТИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В ПРОЦЕССАХ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
- Антимонопольное право - Бюджетна система України - Бюджетная система РФ - ВЭД РФ - Господарче право України - Государственное регулирование экономики России - Державне регулювання економіки в Україні - ЗЕД України - Инвестиции - Инновации - Инфляция - Информатика для экономистов - История экономики - История экономических учений - Коммерческая деятельность предприятия - Контроль и ревизия в России - Контроль і ревізія в Україні - Логистика - Макроэкономика - Математические методы в экономике - Международная экономика - Микроэкономика - Мировая экономика - Муніципальне та державне управління в Україні - Налоги и налогообложение - Организация производства - Основы экономики - Отраслевая экономика - Политическая экономия - Региональная экономика России - Стандартизация и управление качеством продукции - Страховая деятельность - Теория управления экономическими системами - Товароведение - Управление инновациями - Философия экономики - Ценообразование - Эконометрика - Экономика и управление народным хозяйством - Экономика отрасли - Экономика предприятий - Экономика природопользования - Экономика регионов - Экономика труда - Экономическая география - Экономическая история - Экономическая статистика - Экономическая теория - Экономический анализ -