<<
>>

Задачи

2.16.

1. Найти все значения , при которых существует риск-нейтральная вероятность в следующей модели - рынка: .

Решение. Для нахождения риск-нейтральной вероятности выпишем равенство:

.

По условию задачи вероятностное пространство состоит из трех элементарных исходов , поэтому выписанное выше равенство перепишем в виде

С учетом нормировки имеем

откуда .

Каждое из указанных в условии значение цены акции в момент времени 1 предполагается имеющим ненулевую (положительную) вероятность, поэтому эти же свойством должные обладать и риск-нейтральные вероятности. В этом случае

Область значений как функции двух переменных и при указанных выше ограничениях на эти переменные есть интервал от –1/4 до 1/4.

Ответ: риск-нейтральная вероятность существует при .

2. В биномиальной модели - рынка известны значения параметров

Найти справедливую цену и минимальный хедж стандартного опциона call с последействием (look back call option) европейского типа с платежным обязательством: , где .

Решение. Риск-нейтральная вероятность равна:

Составим таблицу для возможных значений цен акций и платежного обязательства в зависимости от поведения доходности в моменты времени 1 и 2. Всего возможны 4 случая:

СЛУЧАЙ ВЕРОЯТНОСТЬ
0,16 -0,4 -0,4 200 120 72 72 0
0.24 -0,4 0,6 200 120 192 120 72
0,24 0,6 -0,4 200 320 192 192 0
0,36 0,6 0,6 200 320 512 200 312

Найдем справедливую цену данного платежного обязательства:

Теперь построим минимальный хедж .

В данном случае это значит найти стратегию , обладающую свойствами самофинансируемости и реплицируемости. Строить такую стратегию удобно "с конца".

Рассмотрим момент времени 1. В этот момент становится известным значение доходности и на этой основе строится пара . Из условия реплицируемости имеем для капитала такой стратегии в момент времени 2

По условию задачи вероятностное пространство состоит из четырех элементарных исходов , поэтому выписанное выше равенство перепишем в виде системы

Пара – случайные величины, т. к. зависят от , но по определению они не зависят от , поэтому

Подставим в систему числовые значения из условия задачи:

откуда

Пара выбирается в момент времени 0 и не зависит от поведения цен акций. Условие самофинансируемости позволяет записать систему

Подставим в систему числовые значения из условия задачи и уже найденные величины:

откуда

Заметим, что начальный капитал найденной хеджирующей стратегии по определению есть , что совпадает со справедливой ценой платежного обязательства.

Ответ: справедливая цена равна 90, начальные количества рискового и безрискового активов равны соответственно 0,6 и -30. В случае понижения цены акции их следует оставить такими же, в случае повышения цены акции сделать равными -130 и 39/40.

3. Пусть процентная ставка , а цены акции изменяются по следующему правилу:

1) Найти риск-нейтральную вероятность.

2) Найти область значений процентной ставки , для которых существует риск-нейтральная вероятность.

3) Для Американского опциона: , , с крайней датой исполнения при найти справедливую цену, минимальный хедж Американского типа и рациональный (разумный) момент исполнения данного опциона.

Решение.

1) Для нахождения риск-нейтральной вероятности выпишем следующие равенства:

По условию задачи вероятностное пространство состоит из четырех элементов . Подставляя числовые значения из условия задачи и учитывая требование нормировки, получаем систему:

Решая эту систему, получаем

2) Каждое из указанных в условии значение цены акции в момент времени 2 предполагается имеющим ненулевую (положительную) вероятность, поэтому условие положительности найденных вероятностей накладывает ограничение на процентную ставку . Решая систему неравенств

методом интервалов, находим, что

3) Риск-нейтральная вероятность при равна . Составим таблицу для возможных значений цен акций и платежного обязательства:

СЛУЧАЙ ВЕРОЯТНОСТЬ
4/15 10 1 12 3 15 5
2/5 10 1 12 3 10 0
1/7 10 1 6 0 10 0
4/21 10 1 6 0 3 0

Найдем справедливую цену и минимальный хедж данного опциона Американского типа. Справедливая цена находится методом "максимальных прогнозов". Пусть капитал минимального хеджа в момент . Имеем

В соответствии с этим

Далее, и

, откуда справедливая цена данного опциона Американского типа равна . Построим теперь минимальный хедж . Для этого определим рациональные (разумные) моменты исполнения:

, откуда

В силу равенства можем записать

или

Решая систему, находим:

Заметим, что , что совпадает с ранее найденным значением справедливой цены.

Ответ: риск-нейтральная вероятность существует при , при этом

Справедливая цена равна 2, безрисковая и рисковая компоненты минимального хеджа равны -3 и 0,5 соответственно.

4. Рассмотрим биномиальный одношаговый -рынок с начальными ценами и процентной ставкой . Цена акции в момент времени 1 принимает значения: с вероятностью 0,6 и с вероятностью 0,4. Задана функция полезности: . Для начального значения найти оптимальную стратегию в задаче максимизации средней логарифмической полезности.

Решение. Найдем параметры -рынка:

Относительно исходной вероятности среднее значение доходности актива равно:

Тогда пропорция рисковой части во всем капитале стратегии равна:

По определению пропорции

откуда находим рисковую компоненту оптимальной стратегии

безрисковую компоненту оптимальной стратегии найдем из условия самофинансируемости:

Ответ: оптимальная стратегия имеет вид .

5. Дать расчет опциона покупателя и продавца с учетом дивидендов, выплачиваемых пропорционально стоимости акции с коэффициентом пропорциональности и .

Решение. В модели Блэка-Шоулса в дивидендами справедливая цена опциона продавца вычисляется по формуле

для опциона покупателя .

Далее рассмотрим 4 случая.

Случай :

Ниже в таблице приведены значения этих вспомогательных переменных

0,1 0,8
80 2,946 и 2,87 0,67 и 0,56
100 0,038 и -0,038 0,307 и -0,307

В следующей таблице приведены справедливые цены опциона покупателя и продавца соответственно

0,1 0,8
80 18,86 и 0 31,18 и 12,32
100 12,02 и 12,02 29,89 и 29,89

Случай :

Ниже в таблице приведены значения этих вспомогательных переменных

0,1 0,8
80 3,713 и 3,637 0,766 и 0,152
100 0,806 и 0,729 0,403 и –0,211

В следующей таблице приведены справедливые цены опциона покупателя и продавца соответственно

0,1 0,8
80 23,17 и 0 35,51 и 10,34
100 19,92 и 14,53 32,29 и 26,89

Случай :

Ниже в таблице приведены значения этих вспомогательных переменных

0,1 0,8
80 2,718 и 2,101 0,574 и –0,04
100 -0,729 и –0,806 0,211 и –0,403

В следующей таблице приведены справедливые цены опциона покупателя и продавца соответственно

0,1 0,8
80 13,5 и 0,04 27,22 и 13,76
100 4,87 и 10,25 25,96 и 32,36

Случай :

Ниже в таблице приведены значения этих вспомогательных переменных

0,1 0,8
80 2,946 и 2,87 0,67 и 0,56
100 0,038 и -0,038 0,307 и -0,307

В следующей таблице приведены справедливые цены опциона покупателя и продавца соответственно

0,1 0,8
80 17,78 и 0 29,40 и 11,62
100 11,34 и 11,34 28,18 и 28,18

Заметим, что справедливая цена опциона продавца в модели с дивидендами связана со справедливой ценой в модели без дивидендов следующим образом:

что дает возможность сравнить результаты вычислений для с результатами вычислений для без инвестирования. Имеем: , и умножая данные соответствующей таблицы на полученное число, убеждаемся в совпадении результатов.

6. Привести аргументацию с примером, подтверждающим или опровергающим совпадение стратегий минимального хеджирования и оптимального инвестирования в модели Блэка-Шоулса.

Решение. Для стратегии оптимального инвестирования (в смысле максимизации среднего функции полезности ) доля рискового актива в портфеле есть постоянная величина class="lazyload" data-src="/files/uch_group42/uch_pgroup67/uch_uch764/image/2171.gif">, в случае равная нулю, поэтому и рисковая компонента в этом случае окажется равной нулю. Для стратегии минимального хеджирования (платежного обязательства ) рисковая компонента стратегии есть и в случае получаем , поэтому указанные выше стратегии не совпадают.

7. Провести расчет стоимости одно- и двух-годовых страховых полисов "чистого" дожития с гарантией и 100 на -рынке Блэка-Шоулса, , с волатильностью и 0,8 при процентной ставке и 0,2.

Для расчетов взять возраст лет, вероятности дожития (берутся из так называемых таблиц продолжительности жизни) и , а число торговых дней в году положить равным 215.

Решение. Поскольку , то аналогично биномиальной модели (см. параграф 3) стоимость годового полиса , где определяется формулой Блэка-Шоулса:

В результате постановки численных значений параметров приходим к таблицам стоимостей этого полиса для и 0,2 соответственно при различных и :

0,1 0,8 0,1 0,8
80 99,87 110,78 и 80 99,88 109,01
100 115,26 128,35 100 116,62 125,53

Аналогично разбирается случай двухгодичного полиса.

8. Аналогично задаче 7 сделать расчет для биномиальной модели с независимыми доходностями

в случае и 2,

Решение. Рассмотрим случай . Найдем риск-нейтральную вероятность:

Далее,

поэтому справедливая цена такого контракта есть

Теперь рассмотрим случай . В этом случае . Далее,

поэтому справедливая цена контракта есть

Ответ: справедливые цены контрактов для и приблизительно равны 109,23 и 87,63 соответственно.

9. Аналогично задаче 7 сделать расчет для дискретной гауссовской модели (использовать числовые значения задачи 5).

Решение. Для дискретной гауссовской модели справедливая цена контракта на дожитие с выплатами есть

Снова будем считать, что возраст застрахованного равен 30 годам, и тогда вероятность дожития до исполнения контракта приблизительно равна 0,9987. Подставим в данные соотношения численные значения из условия задачи.

Случай :

Ниже в таблице приведены значения этих вспомогательных переменных

0,1 0,8
80 3,677 и 3 0,762 и 0,148
100 0,77 и 0,69 0,398 и -0,216

В следующей таблице приведены справедливые цены описанного выше контракта

0,1 0,8
80 99,87 110,92
100 100,88 120,67

Случай :

Ниже в таблице приведены значения этих вспомогательных переменных

0,1 0,8
80 4,345 и 4,268 0,845 и 0,231
100 1,438 и 1,361 0,482 и -0,132

В следующей таблице приведены справедливые цены описанного выше контракта

0,1 0,8
80 99,87 109,32
100 100,14 117,98

1

<< | >>
Источник: Мельников А.В., Попова Н.В., Скорнякова В.С.. Математические методы финансового анализа. Часть II. Финансовый анализ в условиях неопределенности 0000. 0000

Еще по теме Задачи:

  1. 2.1. Применение теории сложных систем при решении задачи оценки качества инвестиционного проекта
  2. Задачи формирования состава
  3. 1.3. Задачи операционного аудита
  4. ГЛАВА 1ЗАДАЧИ АНАЛИЗА ФИНАНСОВОЙ ОТЧЕТНОСТИ
  5. 3.1.2. Принципы декомпозиции задачи финансового планирования
  6. 3.2.4. Постановка задачи долгосрочного планирования
  7. Модернизация России: вызовы и задачиЛозунг, которому 300 лет
  8. Финансовая политика: суть, цели, задачи
  9. Задача максимизация выручки V (T) Организатора финансовой пирамиды по цене - параметру cg
  10. 8. Основныецелиизадачиуправленияфинансами предприятия