<<
>>

Портфели платежных обязательств и расчет цен опционов американского типа.

2.5.

Рассмотрим теперь на биномиальном -рынке с временным горизонтом набор (последовательность, портфель) платежных обязательств , исполняемых в моменты [2].

Управление таким портфелем не вызывает больших трудностей ввиду развитой выше теории.

Действительно, для каждого обязательства надо вычислить его цену

,

а затем для получения цены всего портфеля надо просуммировать по числу платежных обязательств в портфеле:

Заметим, что в финансовой арифметике детерминированные платежи называют рентой. Пользуясь такой традиционной терминологией, можно охарактеризовать приведенную только что формулу как стоимость стохастической ренты.

Свойство линейности сравнительно легко привело к нахождению цены портфеля платежных обязательств. Однако, его структура далеко не всегда допускает такую аддитивность.

Пусть – некоторая неотрицательная стохастическая последовательность, согласованная с информационным потоком .

Рассмотрим случайные величины , принимающие значения "не забегая" в будущее , т.е. . Их принято называть марковскими моментами, или моментами остановки (м.о.).

С помощью последовательности и заданного м.о. построим новое платежное обязательство

Структура показывает, что это обязательство определяется всей историей торгов до момента , но исполняется в случайный момент , называемый моментом исполнения.

Согласно изложенной ранее методологии управления риском, связанным с заданным обязательством, его цена находится вновь с помощью усреднения по риск-нейтральной вероятности для биномиального -рынка:

Обозначая множество всех м.о. приходим к портфелю таких обязательств , занумерованных элементами [3].

Поскольку – это "риск-нейтральный" прогноз будущих выплат , то абсолютно ясно, что в качестве адаптированной к риску, связанному с таким портфелем, цены должен быть взят максимальный из этих прогнозов:

Далее, набор конечен, поэтому обязательно найдется м.о.

такой, что

который и следует взять в качестве момента исполнения для всего портфеля платежных обязательств .

С математической точки зрения нахождение пары решает задачу оптимальной остановки стохастической последовательности , а с точки зрения финансовой экономики – задачу расчета производной ценной бумаги – опциона американского типа, дающего право его предъявления в любой момент времени до истечения даты . Такие опционы составляют более 90% объема опционной торговли.

Примеры опционов американского типа

а) Опционы покупателя и продавца, соответственно, задаются с помощью следующих последовательностей платежных обязательств:

и ,

б) Русский опцион задается с помощью максимума из текущей последовательности цен акций:

Соответствующая методология расчета состоит в следующем.

Здесь полностью сохраняется понятие стратегии (портфеля)

и капитала . Самофинансируемая стратегия называется хеджем, если для любого .

При этом для любого м.о. . Хедж – минимальный, если для всех и любого другого хеджа .

Рассмотрим стохастическую последовательность "максимальных прогнозов"

Очевидны граничные значения этой последовательности:

Выясним структуру последовательности , переписывая ее терминальное значение через единственный м.о. :

При имеем

в противоположном случае,
если

что эквивалентно формуле

Определяя м.о.

в противоположном случае,
если
border=0 class="lazyload" data-src="/files/uch_group42/uch_pgroup67/uch_uch764/image/549.gif">

находим, что равен либо , либо .

Для произвольного имеем, что

Следуя указанной схеме, находим, что

Для построения хеджирующей стратегии рассмотрим последовательность максимальных прогнозов и заметим, что

для всех

Следовательно, является супермартингалом, для которого запишем разложение Дуба

где – мартингал, – предсказуемая неубывающая

последовательность.

Для можно записать мартингальное представление в виде

где – некоторая предсказуемая последовательность.

Начиная с , построим с помощью самофинансируемую стратегию с капиталом так, что .

Далее, построенная стратегия является хеджем, поскольку

для всех .

По построению находим соответствующую цену

Для иллюстрации представленной выше методологии расчета рассмотрим следующий пример опциона американского типа на двухшаговом (B,S)-рынке с выплатами

где руб., ,

с вероятностью
с вероятностью

Процентную ставку положим равной 0.2.

Ясно, что риск-нейтральная вероятность определяется бернуллиевской .

Исследуем структуру максимальных прогнозов :

Величина

на
на

и в соответствии с этим

на
на

Учитывая равенство , приходим к и "оптимальному" моменту исполнения

Приведем также один общий факт, когда "останавливаться" при торговле с американскими опционами надо в самый последний момент .

Пусть , где – некоторая неотрицательная выпуклая функция. Предположим, для простоты, что .

Согласно развитой теории имеем

Согласно неравенству Йенсена[4] является субмартингалом относительно мартингальной вероятности . Поэтому для любого

и мы приходим к оптимальности .

2.5.

<< | >>
Источник: Мельников А.В., Попова Н.В., Скорнякова В.С.. Математические методы финансового анализа. Часть II. Финансовый анализ в условиях неопределенности 0000. 0000

Еще по теме Портфели платежных обязательств и расчет цен опционов американского типа.:

  1. 13.2. организационная структура и функции подразделени обеспечивающих управление активами и пассивами
  2. Управление кредитным риском как система.
  3. 36-3. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОЕ СЛОВО
  4. § 5. Контроль и надзор за банковской деятельностью
  5. 2. ИНСТРУМЕНТЫ РЫНКА ЦЕННЫХ БУМАГ
  6. 2.1. Мониторинг функционирования финансового капитала в мировом хозяйстве
  7. Тема 2. Финансовая система
  8. 15.4. Мировой рынок деривативов
  9. Корпоративные и производные ценные бумаги
  10. ГЛОССАРИЙ
  11. Содержание
  12. Портфели платежных обязательств и расчет цен опционов американского типа.
  13. Задачи
  14. 2.2.5. Риски, связанные с основными положениями внешнеэкономического договора
  15. ГЛОССАРИЙ
  16. Структура и развитие международных финансовых рынков как экономической среды для бизнеса
  17. П
  18. ГЛОССАРИЙ
  19. Определения