<<
>>

Переход от биномиальной к непрерывной модели рынка. Формула и уравнение Блэка-Шоулса.

2.12.

В рассмотренных выше моделях рынков изменения в ценах происходили через единичные интервалы времени. Можно представить, что временной горизонт рынка не является целым числом, и мы с необходимостью должны изучать рынки, в которых дискретность по времени (или, как говорят, тики) происходят кратно некоторому положительному числу .

Такую модель будем называть -рынком:

где – стохастическая последовательность доходностей, порождающая фильтрацию

Существует стандартный путь распространения такого дискретного рынка на весь отрезок : для

так что все объекты оказываются определенными для всех . В этом случае стохастические последовательности превращаются в случайные процессы, а сама модель – в формально непрерывную модель рынка.

Вполне естественно рассмотреть, например, платежное обязательство как выплаты по (европейскому) опциону покупателя на описанном выше -рынке. Соответствующую цену опциона обозначим .

Варьируя параметр дискретности , мы получаем целое семейство -рынков. Хотелось, чтобы при такие ключевые величины как имели некоторые пределы.

Предположим, что последовательность образуется независимыми случайными величинами, принимающими два значения с вероятностями и . Пусть и представим в следующей форме:

где .

В соответствии с этим исходный -рынок переписывается в виде: для

где

и процесс имеет независимые приращения ввиду независимости .

Найденная форма -рынка приводит нас к совершенно естественной предельной модели : для

в которой дифференциалы являются формальными пределами .

Из теории вероятностей известно, что с испытаниями Бернулли связаны два "предельных" распределения – Гауссовское и Пуассоновское. Поэтому в данной ситуации разумно считать, что предельный процесс обладает свойствами:

а его независимые приращения либо гауссовские, либо пуассоновские. В первом случае этот процесс называется винеровским (или броуновским движением), а соответствующая модель -рынка моделью Блэка-Шоулса. Во втором – это (центрированный) процесс Пуассона, а модель – модель Мертона.

Для определенности остановимся на первом случае. Параметры называют процентной ставкой, нормой возврата и волатильностью. Достаточно ясно, что опцион покупателя также можно рассмотреть на этом непрерывном рынке и соответствующее обязательство будет иметь вид . Обозначим премию по этому опциону и найдем, чему равна эта премия, предельным переходом:

Пусть параметры -рынка и его предполагаемого "предела" связаны соотношениями

Применяя формулу Кокса-Росса-Рубинштейна, имеем, что

где

,

В соответствии с предельной теоремой Муавра-Лапласа при имеем следующие соотношения

Далее, при

,

Прямым подсчетом убеждаемся, что при

,

,

и приходим к соотношениям

Таким образом получаем следующую знаменитую формулу Блэка-Шоулса

Можно воспроизвести ту же процедуру предельного перехода на отрезке и получить аналогичную формула Блэка и Шоулса для указанного временного интервала, при этом происходит замена на и на .

Соответствующую цену опциона обозначим как функцию цены акции . Предположим, что – дважды непрерывно дифференцируема по и один раз по (). Оказывается, удовлетворяет дифференциальному уравнению Блэка-Шоулса:

Приведем соображения, объясняющие происхождение указанного уравнения.

Рассмотрим -рынок с параметрами

Для мартингальной вероятности в этом случае получаем, очевидно, такую асимптотическую формулу: при

Поскольку цены акций на -рынке принимают только два значения, то

Далее, применяя формулу Тейлора, получаем при , что

и, значит,

Делением обеих частей на достигается нужное утверждение о виде уравнения Блэка и Шоулса.

2.12.

<< | >>
Источник: Мельников А.В., Попова Н.В., Скорнякова В.С.. Математические методы финансового анализа. Часть II. Финансовый анализ в условиях неопределенности 0000. 0000

Еще по теме Переход от биномиальной к непрерывной модели рынка. Формула и уравнение Блэка-Шоулса.:

  1. Содержание
  2. Введение.
  3. Переход от биномиальной к непрерывной модели рынка. Формула и уравнение Блэка-Шоулса.
  4. Финансовый анализ в экономике страхования.
  5. ГЛАВА 13. ОСНОВЫ РИСК-МЕНЕДЖМЕНТА