Методы измерения риска

Труднее всего отобрать именно то, чего не следует.

Питер Ф. Друкер

При принятии финансовых решений возникает необходимость иметь объектив­ные данные о степени риска, который может возникнуть при реализации такого решения.

В основе измерения риска лежит распределение вероятностей исхода событий, которое описывает вероятность будущего изменения величины переменного фак­тора. Распределение вероятностей возможных значений переменного фактора мо­жет иметь дискретный или непрерывный характер. При принятии финансовых решений в качестве меры риска широко используется показатель среднеквадра­тичного отклонения (или дисперсии).

Пример 6.1. Предположим, что инвестор решил вложить свои свободные де­нежные средства в ценные бумаги. На рынке ценных бумаг его внимание при­влекли акции компаний «Лямбда» и «Сигма». Текущая цена этих акций равняет­ся 100 руб. каждая, и дивиденды по ним не выплачиваются. Инвестор планирует купленные сегодня акции продать через год по более высокой цене и получить от своей операции доход, величина которого будет зависеть только от рыночной це­ны акции в день ее продажи. Поэтому инвестор должен иметь оценочные данные о цене акций каждой компании через год.

При расчете ожидаемой цены продажи используем концепцию дискретного распределения вероятностей и примем, что цена акций может изменяться в опре­деленных пределах:

• цена акции компании «Лямбда» — от 80 до 160 руб.;

• цена акции компании «Сигма» — от 60 до 180 руб.

Для определения вероятности продажи акций в пределах указанных цен ин­вестор изучил данные по сделкам купли-продажи указанных акций за прошлый период и получил следующие результаты (табл. 6.1).

Инвестор предполагает, что вероятность продажи акций по указанным ценам можно принять и на сделки с этими акциями в будущем году, т. е. вероятность продажи акции компании «Лямбда» по цене 80 руб. равна 10%, по цене 100 руб. — 20% и т. д. Вероятность продажи акции компании «Сигма» по цене 60 руб. — 10%, по цене 80 руб. — 10% и т. д.

По полученным данным определим два показателя, которые позволят нам определить, акции какой компании более привлекательны для инвестора: ожи­даемую цену акции и среднеквадратическое отклонение цены акции. Ожидаемая цена акции определяется из выражения:

где Цi — i-я цена акции, руб.; p. — вероятность продажи акции по i-й цене, $ и ед.

Ожидаемая цена акции компании «Лямбда» равна:

Ц = 80 х 0,1 + 100 х 0,2 + 120 х 0,4 + 140 х 0,2 + 160 х 0,1 = 120 руб.

Ожидаемая доходность сделки по купле и продаже акции компании «Лямбда» r через год равна:

r = (120 - 100)/100 = 0,2, или 20% в год.

Ожидаемая цена акции компании «Сигма» (Ц) будет равна:

Ц = 60 х 0,1 + 80 х 0,1 + 100 х 0,2 + 120 х 0,2 + 140 х 0,2 + 160 х 0,1 + 180 х 0,1 =

= 120 руб.

Ожидаемая доходность сделки по купле и продаже акции компании «Сигма» r через год равна:

r = (120 - 100)/100 = 0,2, или 20% в год.

Таким образом, ожидаемая доходность акций обеих компаний одинакова, и ин­вестор не имеет четкой информации о предпочтительности вложений своих денеж­ных средств в покупку акций определенной компании.

Среднеквадратическое отклонение вероятностей распределения цены акции а выражает дисперсию цены акции. Этот показатель выражает меру достоверности

ожидаемой цены акции и поэтому может служить в качестве меры риска или по­казателя неопределенности изменения цены акции. Среднеквадратическое откло­нение вероятностей распределения цены акции определяется из выражения:

Подставив значения цен акций и вероятность их наступления, определим зна­чения среднеквадратического отклонения цен по акциям рассматриваемых ком­паний:

• для акций компании «Лямбда»:

Полученные результаты показывают уровень неопределенности будущей цены акций. Для большинства видов распределения вероятностей существует незначи­тельный шанс выхода фактической цены акции в будущем за пределы Ц ± 2ст.

Инвестор, сравнивая значения ст для акций рассматриваемых компаний, сдела­ет свой выбор в пользу акций компании «Лямбда», поскольку эти акции обладают меньшим уровнем риска (21,9) в сравнении с акциями компании «Сигма», кото­рые характеризуются большим уровнем риска (34,6) при одинаковой доходности акций этих компаний.

Иногда мерой риска может служить отношение среднеквадратического откло­нения к ожидаемой цене акции.

Вышерассмотренный пример иллюстрирует неопределенность цены акции в будущем. Эта неопределенность непосредственно транслируется и на величину дохода, который хочет получить инвестор, и на ставку доходности инвестирован­ного капитала (табл. 6.2).

Ставка доходности при будущей цене акции, равной 80 руб.: r = (80 - 100)/100 = -0,2, или -20%.

Ставка доходности при будущей цене акции, равной 100 руб.:

r = (100 - 100)/100 = 0.

Распределение вероятностей ожидаемой нормы доходности акций компании «Лямбда» представлено на рис. 6.2.

Рис. 6.2. Дискретное распределение вероятностей ожидаемой нормы доходности акций компании «Лямбда»

Аналогично рассчитываются ставки доходности для всех будущих цен акций компании «Сигма» (табл. 6.3).

На основе данных табл. 6.2 и 6.3 определим ожидаемую доходность инвести­ций, вложенных в акции компаний «Лямбда» и «Сигма», а также значения сред­неквадратического отклонения доходности от ожидаемой ставки доходности ин­вестированного капитала.

Для расчета величины ожидаемой нормы доходности и стандартного отклоне­ния доходности формулы (6.1) и (6.2) перепишем в виде:

где rk — доходность k-го актива, %; pk — вероятность получения дохода по k-му активу, доли ед.

Значения среднеквадратического отклонения доходности от ожидаемой став­ки доходности инвестированного капитала определим по формуле (6.4). Расчеты показывают, что для акций компании «Лямбда» величина ст = 21,9%, а для акций компании «Сигма» значение ст = 34,6%.

При рассмотрении влияния уровня риска на ожидаемую норму доходности акции следует иметь в виду множество значений, которые может принять дан­ный показатель. В нашем примере ожидаемая цена акции компании «Лямбда» изменялась от 80 до 160 руб. с интервалом 20 руб. Предположим, что цена ак­ции может меняться с интервалом 0,5 руб., тогда можно получить 160 возможных значений будущей цены акции ((160 - 80)/0,5) и, следовательно, 160 значений ставки доходности по этой акции. Если по акции в будущем будут выплачиваться дивиденды, величина которых неопределенна, то в этом случае возможные значе­ния ставки доходности по акции значительно возрастут, и тогда можно говорить о непрерывном распределении ожидаемой нормы доходности акций компании «Лямбда».

При непрерывном распределении вероятность получения отдельного значения нормы доходности, например, 10%, равна нулю. В этом случае мы измеряем ве­роятность получения любой доходности как площадь под кривой. Например, на рис. 6.3 вероятность получения нормы доходности между 15 и 25% равна 0,4 (за­штрихованная область под кривой между 15 и 25% значениями нормы доходности акции). Если обратиться к рис. 6.2, то имеем ту же вероятность для получения нормы доходности, равной 20%, при дискретном распределении вероятностей.

Норма доходности, % Рис. 6.3. Непрерывное распределение вероятностей ожидаемой нормы доходности акций компании «Лямбда»

Легко сравнивать риски, когда ожидаемые доходности всех вариантов равны. А как выбирать вариант инвестиций из двух инвестиционных проектов, если они различаются и по ожидаемым нормам доходности, и по рискам?

Рассмотрим два варианта инвестиций:

• ожидаемая норма доходности актива А 15% в год, стандартное отклонение 9%;

• ожидаемая норма доходности актива В 30% в год, стандартное отклонение 15%.

Какой из этих вариантов предпочтительнее?

Можно сказать, что второй вариант более рискован, поскольку значение стандартного отклонения для этого варианта больше в сравнении с первым вариантом. Однако такой ответ может привести к ошибочному выбору инве­стиционного проекта. Обычно в таких случаях риск принято измерять относи­тельной мерой, называемой коэффициентом дисперсии, или коэффициентом вариации. Величина этого показателя определяется как отношение стандарт­ного отклонения ожидаемой нормы доходности актива к его ожидаемой норме доходности. В первом варианте его величина будет равна 9/15 = 0,6, или 60%; во втором — 15/30 = 0,5, или 50%. Второй вариант относительно менее ри­скован, несмотря на то что само по себе стандартное отклонение доходности здесь выше.

Портфель, формируемый инвестором, состоит из нескольких активов, каж­дый из которых обладает своей ожидаемой доходностью. Ожидаемая доходность портфеля определяется как средневзвешенная ожидаемая доходность входящих в него активов. Ожидаемый риск портфеля представляет собой сочетание стан­дартных отклонений (дисперсий) входящих в него активов. Однако в отличие от ожидаемой доходности портфеля его риск не обязательно является средне­взвешенной величиной стандартных отклонений доходностей активов. Дело в том, что различные активы могут по-разному реагировать на изменение конъ­юнктуры рынка. В результате стандартные отклонения доходности различных активов в ряде случаев будут гасить друг друга, что приведет к снижению риска портфеля. Риск портфеля зависит от того, в каком направлении изменяются до­ходности входящих в него активов при изменении конъюнктуры рынка и в ка­кой степени.

Для определения степени взаимосвязи и направления изменения доходностей двух активов используют такие показатели, как ковариация и коэффициент кор­реляции.

Показатель ковариации доходности активов А и В определяется по формуле:

где rA,rB — средняя доходность активов А и В за n периодов; rAi, rBi — доходность активов А и В в i-м периоде; n — число периодов, за которые регистрировалась до­ходность активов А и В.

Положительное значение ковариации говорит о том, что доходности активов изменяются в одном направлении, отрицательное — в обратном. Нулевое значе­ние ковариации означает, что взаимосвязь между доходностями активов отсут­ствует.

Другим показателем, определяющим степень взаимосвязи изменения доходно­стей двух активов, служит коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до +1. Коэффициент корреляции — это статистическая мера степени линейной зависимости между двумя случайными переменными. При нулевой корреляции переменные x и у ни­как не связаны, т. е. значения переменной y меняются совершенно случайно, вне зависимости от изменения значений переменной x. При приближении абсолют­ной величины коэффициента корреляции к единице зависимость между перемен­ными приобретает все более определенный, линейный характер.

Среднеквадратическое отклонение, выражающее меру риска, обладает четырь­мя важными свойствами:

1. На величину среднеквадратического отклонения влияет только разность между ожидаемой ценой акции и разными ценами на акции, по которым мо­гут быть реализованы эти акции. Если акция имеет только одну цену прода­жи, например 150 руб., то говорят, что вероятность продажи акции по этой цене равна 1,0. В этом случае ожидаемая цена продажи также равна 150 руб. и среднеквадратическое отклонение цены акции будет равно нулю, посколь­ку колебание цены равно нулю. Следовательно, если для инвестиционного решения риск равен нулю, то показатель меры риска а равен нулю.

2. При расчете показателя а разность между вероятностной ценой и ожи­даемой ценой продажи возводилась во вторую степень. В этом случае те ожидаемые цены, которые более удалены от ожидаемой цены акции, ока­зывают большее влияние на величину а, чем те значения цен, которые не­значительно отличаются от ожидаемой цены акции. Следовательно, при использовании в качестве меры риска среднеквадратического отклонения цены акции следует иметь в виду то, что значительные разницы между ожидаемой ценой акции и будущими ценами на акции обусловливают больший риск.

3. Чем меньше вероятность продажи акции по какой-то цене, тем меньшее вли­яние оказывает эта цена на величину риска.

4. Среднеквадратическое отклонение цены акции измеряется в тех же еди­ницах, что и ожидаемая цена акции, т. е. в денежном выражении, например в рублях, евро, долларах США и др.

6.3.