<<
>>

Гауссовская модель рынка и расчет финансовых контрактов в схемах "гибкого" страхования. Дискретная формула Блэка-Шоулса.

2.11.

Поскольку цены акций являются положительными, то всегда можно их представить в экспоненциальном виде:

где ,

С другой стороны, из рекуррентных уравнений эволюции цен акций и определения стохастических экспонент следует, что

где для удобства в дальнейшем мы обозначили

.

Собирая вместе оба этих представления цен, приходим к соотношению между двумя стохастическими последовательностями и :

С помощью разложения Дуба представим , где , , – предсказуема, а последовательность образует мартингал .

Значит, в исходной модели цены акций можно переписать в виде

и считать заданными на , где .

Пусть стохастическая последовательность образует гауссовское семейство независимых случайных величин со средними и дисперсиями :

Вводя стандартные гауссовские случайные величины , перепишем в виде:

Ясно, что в этом, гауссовском, случае ранее введенные и имеют конкретную форму:

– детерминированная последовательность,

– гауссовский мартингал

с квадратичной детерминированной характеристикой

.

При этом будем считать, что

Определим стохастическую последовательность

Утверждается, что – мартингал относительно исходной вероятности .

Это утверждение вытекает из нижеследующих рассмотрений с использованием независимости гауссовских случайных величин

.

Ясно, во-первых, что

Во-вторых, (п.н.) для

и, следовательно, является мартингалом.

Далее, и , поэтому с помощью можно корректно определить "новую" вероятность :

Вычисляя

заключаем, что является относительно гауссовской последовательностью случайных величин с нулевым средним и дисперсией .

Независимость вытекает из следующего равенства

В качестве важнейшего следствия получаем такой вариант теоремы Гирсанова, играющей исключительно важную роль в количественном финансовом анализе:

Если , независимы относительно , то относительно

и независимы.

Перейдем к изучению следующей дискретной гауссовской модели финансового -рынка:

где неотрицательные детерминированные последовательности (процентная ставка банковского счета) и таковы, что

В контексте развитой выше теории нам необходимо изучить вопрос, когда некоторая вероятность является мартингальной для введенной модели рынка.

Будем строить искомую вероятность с помощью следующего преобразования Эсшера:

где

,

– некоторая детерминированная последовательность, подлежащая построению.

Для этого запишем мартингальное свойство для относительно вероятности :

Последнее равенство эквивалентно

где .

Принимая во внимание форму плотности , приходим к следующим соотношениям:

и

Поскольку , то

и, следовательно, мы получаем

Используя такое , находим, что

Последнее приводит нас к нахождению

и

где .

Рассмотрим в целях технических упрощений несколько более частную гауссовскую модель -рынка:

где

– независимые случайные величины на стохастическом базисе

с .

Представим по аналогии с примером в параграфе 5, что на этом рынке работает страховая компания, предлагая своим клиентам договор "чистого дожития" до даты . Пусть компания имеет страхователей, согласившихся на такой договор, и образующих группу людей в возрасте и количестве . Разумно считать эту группу однородной, характеризовать страхователей их временами жизни border=0 class="lazyload" data-src="/files/uch_group42/uch_pgroup67/uch_uch764/image/1289.gif">, которые считаются заданными на другом пространстве и независимыми. Фильтрацию зададим естественным образом .

Обозначим – условную

вероятность дожития -ым страхователем до возраста , начиная с .

Из формулы Байеса вытекает, что

Обозначим случайный процесс

,

представляющий собой "счетчик" смертей в рассматриваемой группе страхователей.

Ясно, что

Согласно контракту компания выплатит каждому страхователю величину

,

где – некоторая конкретизированная в договоре функция, если страхователь доживет до даты . Дисконтированная величина общей выплаты компании равна

где .

Для того, чтобы оценить указанный контракт (т.е. рассчитать указанное платежное обязательство, имеющее страховую компоненту), рассмотрим новый стохастический базис

Рассматривая стохастические последовательности и на этом базисе, мы автоматически получим их независимость, что вполне соответствует смыслу поставленной задачи – ведь продолжительность жизни страхователя и цены финансового рынка вряд ли сильно зависят друг от друга.

Согласно предыдущему мы знаем, что новая вероятность с плотностью

является мартингальной на рассматриваемом -рынке. Полагая , мы приходим к вероятности на , которая "сохраняет" мартингальность отношения и "оставляет" прежними распределения .

Применим для нахождения подходящей премии по контракту методологию среднеквадратического хеджирования описанного выше платежного обязательства и получим, что

Здесь мы воспользовались равенством и независимостью цен и времен жизни .

Оптимальная стратегия и ее капитал имеют вид:

где

определяет соответствующую страховую премию, получаемую компанией от всей группы страхователей.

В целях нахождения конкретных формул рассмотрим три случая[10].

Первое, возьмем в качестве и найдем, что

При этом премия идентифицируется величиной

а риск такой стратегии считается непосредственно:

где – вероятность смерти в течение следующего после года.

В частности, из последней формулы вытекает

при

что означает пренебрежимую малость риска такого контракта для компании, если группа страхователей достаточно большая.

Второе, и в этом случае

что свидетельствует о необходимости инвестирования в банковский счет. Риск-последовательность здесь такова

При этом риск

и снова при .

Третье, Переписывая мы приходим к необходимости подсчета

и

Для второго условного ожидания (прогноза) имеем, что

где относительно , – гауссовская случайная величина с соответствующими параметрами.

Заметим, что для и постоянных , и имеем равенство

где

– стандартное нормальное распределение.

Поэтому получаем, что

Замечание. Из только что выведенной формулы (для ) вытекает формула

Это и есть дискретный вариант знаменитой формулы Блэка-Шоулса для цены опциона покупателя.

Обратимся теперь к первому условному ожиданию и получим, что

Замечая для равенство

можно переписать вышеприведенное выражение таким образом

В результате получаем следующие конкретные формулы для капитала оптимальной стратегии и ее структуры:

border=0 class="lazyload" data-src="/files/uch_group42/uch_pgroup67/uch_uch764/image/1350.gif">

2.11.

<< | >>
Источник: Мельников А.В., Попова Н.В., Скорнякова В.С.. Математические методы финансового анализа. Часть II. Финансовый анализ в условиях неопределенности 0000. 0000

Еще по теме Гауссовская модель рынка и расчет финансовых контрактов в схемах "гибкого" страхования. Дискретная формула Блэка-Шоулса.:

  1. 2.1. Модель формирования и распределения финансовых результатов деятельности предприятия
  2. 10.7. ОЦЕНИВАНИЕ ОПЦИОНОВ МОДЕЛЬ БЛЭКА-ШОУЛСА
  3. Глава 3. Математические модели для решения задач финансового планирования
  4.   2.2. Финансовый рынок и роль финансовых посредников
  5. Финансовый рынок. Направления развития финансового рынка России
  6. Роль страхового рынка в перераспределении финансовых ресурсов
  7. 66.РАСЧЕТ ФИНАНСОВОГО ЦИКЛА
  8. Финансовый рынок: определение, виды финансовых рынков.
  9. Содержание
  10. Финансовый рынок и вероятностные основы моделирования финансового рынка и расчета рисков платежных обязательств.
  11. Гауссовская модель рынка и расчет финансовых контрактов в схемах "гибкого" страхования. Дискретная формула Блэка-Шоулса.
  12. Переход от биномиальной к непрерывной модели рынка. Формула и уравнение Блэка-Шоулса.
  13. Модель Блэка-Шоулса. "Греческие" параметры риск-менеджмента, хеджирование при бюджетных ограничениях и с учетом дивидендов. Оптимальное инвестирование.