Биномиальная модель финансового рынка. Безарбитражность, единственность риск-нейтральной вероятности, мартингальное представление.

Уточним введенную в предыдущем параграфе модель рынка, предполагая, что доходности

с вероятностью

с вероятностью

образуют последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, .

, , .

Фильтрация порождается последовательностью .

Такая модель -рынка называется биномиальной, или моделью Кокса-Росса-Рубинштейна:

, ,

, .

В рамках этой модели определения стратегии, хеджа и т.д. специфицируются следующим образом:

Стратегия (портфель) – двухкомпонентная предсказуемая последовательность.

Платежное обязательство – это произвольная случайная величина на стохастическом базисе ;

Хедж – это (самофинансируемая) стратегия с терминальным капиталом (п.н.);

Минимальный хедж – это хедж с минимальным текущим капиталом: (п.н.): для всех и всех других хеджей .

Арбитраж означает, что существует (арбитражная стратегия) такая, что

и .

Эвристически арбитраж означает возможность получения прибыли без риска.

Рисковый характер рынка при нашем подходе идентифицируется со случайностью цен . Далее, та или иная вероятность позволяет численно оценивать эту случайность, или рисковость. При этом начальная вероятность может давать также вероятностные характеристики для , которые могут быть весьма далеки от безрискового актива .

для .

Из приведенного условия с учетом уравнений -рынка при находим, что

где – бернуллиевская вероятность, определяющая вероятность .

Ясно, что и, следовательно, .

Последнее равенство означает, что в рамках биномиальной модели соответствующая вероятность "риск-нейтрального" расчета определяется однозначно.

Можно ли сказать больше о поведении дисконтированных цен акций относительно найденной вероятности ?

Для ответа найдем соответствующий прогноз: для всех

Значит, последовательность образует мартингал относительно риск-нейтральной вероятности , которую по этой причине называют также мартингальной.

Следующий шаг в изучении биномиальной модели состоит в доказательстве безарбитражности этого рынка.

Рассмотрим произвольную самофинансируемую стратегию с дисконтированным капиталом . Используя установленные свойства мартингальной вероятности , имеем для любого

Значит, дисконтированный капитал самофинансируемой стратегии является мартингалом относительно , что дает так называемую мартингальную характеризацию класса .

Далее, пусть существует некоторая арбитражная стратегия . Из ее определения вытекает, что

.

С другой стороны, свойство мартингальности отношение приводит к равенству

.

Далее, вероятности и связаны положительной плотностью : для всех событий .

Используя это замечание и установленные выше соотношения, получим

Это противоречит предположению об арбитражности и позволяет констатировать, что рассматриваемый рынок не допускает арбитража.

Теперь установим, что в рамках биномиального рынка любой мартингал является стохастическим интегралом относительно некоторого базового мартингала. Именно, пусть – последовательность независимых случайных величин на таких, что

Определим фильтрацию . Любой мартингал , относительно может быть представлен в виде

,

где – предсказуемая последовательность, а сумма – "бернуллиевский мартингал".

Доказательство этого мартингального представления состоит в следующем. Поскольку порождается , а полностью определяется по , то существуют такие функции с либо , либо , что

.

Необходимое представление нам удобно переписать в виде

,

или, с учетом предыдущего замечания,

Откуда получаем

что и следует установить для получения исходного представления.

Из мартингального свойства вытекает

, или

,

что можно переписать в виде

С учетом формулы для отсюда приходим к требуемому утверждению.

С помощью полученного мартингального представления можно следующим образом конкретизировать плотность мартингальной вероятности относительно :

,

где .

Для этого рассмотрим прогноз . По свойствам прогнозов – мартингал относительно и фильтрации . Следовательно, в соответствии с вышеприведенным представлением мартингалов можно записать в виде (с заменой и на и ):

,

где – предсказуемая последовательность.

Далее, и поэтому имеем следующее стохастическое уравнение

.

Следовательно, его решение представляется в виде

.

Найдем коэффициенты пользуясь тем, что является плотностью мартингальной вероятности.

При из этого условия получаем, что

и, значит, .

Предполагая теперь все , равными этой константе, используя независимость , имеем

что приводит к и к соответствующей формуле плотности.

2.3.