<<
>>

Вопросы и задачи

Цена золота сегодня — $500 за унцию. Цена исполнения фьючерсного контракта сроком на год равна $700. Процентная ставка равна 10% годовых. Предположите, что хранение золота ничего не стоит и укажите арбитраж.

Двухмесячная (непрерывная) процентная ставка в США и Швейцарии равна 8% и 3% годовых соответственно.

Текущая цена швейцарского франка равна 0.6600, а цена его поставки по двухмесячному фьючерсу — $0.650. Какие появляются арбитражные возможности?

Докажите формулы (3.5) и (3.6).

Цена некоторой акции сегодня равна $100. Процентная ставка (непрерывная) равна 8% годовых. Дивидиенды, равные 1% годовых, за акцию будут выплачены через полгода и через год. Найти цену фьючерса со сроком исполнения 1 год.

Пут опцион на некоторый базовый актив с ценой S(t) исполняется в момент времени Т по цене К. Пользуясь отсутствием арбитража на рынке, докажите, что цена P(t) пут опциона удовлетворяет неравенству

P(t) < Ке-Т{т-1\

Инвестор покупает двухмесячный колл опцион за 5 долларов с ценой исполнения 100 долларов. Пренебрегая стоимостью хранения

Пример 6. Проверьте, что при определении и и d формулой (3.16) дисперсия случайных величин 1п(?(? + At)) — 1п(?(?)) равна a2At.

Решение. Случайная величина S(t + At) задаётся таблицей S(t + At) uS(t) dS(t) Р Р q 2. По определению дисперсии случайной величины

D(S(t + At)) = М (S(t + At)2) - (М S(t + At))2 = pu2S2+ + qd2S2 — (puS + qdS)2 = S(t)2(pu2 + qd2 - p2u2 -q2d2 -2pqud).

Сгруппируем в последней формуле первое и третье, а также второе и четвёртое слагаемые и воспользуемся тем, что р + q = 1. Тогда

T>(S(t + At)) = S(t)2(v2pq + d2pq-2udpq) = pqS2 (u - d)2. Подставляя значение p из формулы (3.15), имеем, что

D(S(t + At)) = S(t)2 (erAt - e-^) (e^ - erAt) . Раскладывая экспоненту в ряд Тейлора, получим, что

(erAt - Е-^) = СГЛ/АЇ + (г - a2)At + О ((At)3/2) , (>VAі _ erAt^ = _ (r _ а2)М + 0

Тогда

D(S(t + At)) = S(t)2cr2 At + O(At)2.

Остаётся заметить, что In = In + с точно

стью до 0((At)2) равен S(t + At)/S(t) — 1.

Значит, с точностью до О (At)2 дисперсия

D (ln(S(t +At)) - InS(t)) = a2At.

Пример 7. Цена S(t) некоторого актива в текущий момент времени t равна $40, а его волатильность а = 20% годовых. В рамках однопериодной биномиальной модели вычислите текущую цену c(t)

Согласны ли вы с предположениями о ненасыщаемости и нерасположенности к риску? Придумайте случай, противоречащий этим предположениям.

Функция предпочтений инвестора U(r,a) = г — г2 — а2, где г Є [0,0.4] — ожидаемая доходность, а а — риск. Найдите оптимальный портфель инвестора, состоящий из двух некоррелированных активов А и В, для которых ожидаемые доходности ГА и г в равны 0.1 и 0.4, а риски а А и ав — 0.2 и 0.3 соответственно.

Функция предпочтений инвестора U(r,a) = г — г2 — а2, где г Є [0,0.4] — ожидаемая доходность, а а — риск. Найдите оптимальный портфель инвестора, состоящий из двух активов А и В, для которых ожидаемые доходности га И гв равны 0.2 и 0.3, а риски а а И ав — 0.1 и 0.2 соответственно. Коэффициент корреляции РАВ доходностей активов А и В равен 0.5.

Функция предпочтений инвестора U(r,a) = г — г2 — а2, где г Є [0,0.4] — ожидаемая доходность, а а — риск. Найдите оптимальный портфель инвестора, состоящий из двух активов А и В, для которых ожидаемые доходности ГА И ГВ равны 0.2 и 0.4, а риски а А И ав — 0.1 и 0.3 соответственно. Коэффициент корреляции РАВ доходностей активов А и В равен 1.

На рынке находятся в обращении только три актива: два рискованных А\ и А2 И безрисковый F. Доходы по этим активам при вложении, равном 0.9, приведены в следующей таблице Вероятность q = 0.6 q = 0.3 q = 0.1 F 1.00 1.00 1.00 At 1.05 1.20 1.10 А2 1.30 1.00 1.05 Например, вложив 0.9 в актив Аі, инвестор в конечный момент времени получит доход 1.20 с вероятностью 0.3. Найдите доходность гу безрискового актива F, ожидаемые доходности г і и г2 активов А\ и А2, ИХ риски а\ и а2 и ковариацию Cov(iii, Я2) доходностей активов At и А2.

15. В условии задачи 14 надите касательный портфель.

Указание. Пусть П = v\R\ + v2R2. Тогда

0 0 0 0 0 Щ = viП + V2r2, ап =v1a1 + v2a2 + 2i>ii>2 Cow(R1, R2).

Обозначим через s{v\,v2) наклон прямой, проходящей через точки F и П. Прямая с самым большим наклоном будет касательной к

кривой допустимых портфелей П = v\A\ + V2A2. Наклон s = (гп — f'F)l&п- Итак,

v\r\ + г/2г2 - rF

» max, (1.8)

yjv\1/1+1/2 = 1- (1.9)

Выразим из (1.9) V2 и подставим в (1.8). Тогда останется найти максимум функции одной переменной. Для этого найдите производную этой функции и приравняйте её к нулю.

В условии задачи 14 падите эффективное множество портфелей.

Сформулируйте предположения модели САРМ.

Безрисковый актив имеет доходность 9%. Ожидаемая доходность касательного портфеля равна 0.2, а его риск — 0.18. Нарисуйте рыночную линию капитала.

На рынке ценных бумаг находятся в обращении только два рис-кованных актива А\(<т\,г{) и ^2(0*2,^2)) а также безрисковый актив F = (0,г/). Рассмортим произвольный портфель П, состоящий только из рискованных активов А\ и А^. Портфель П является ка-сательным, если угол наклона прямой ҐП наибольший среди всех допустимых П. Запишите поставленную задачу нахождения максимума. Выпишите функцию Лагранжа для этой задачи. Получите условия первого порядка (необходимые условия существования экстремума) .

Указание. Задача нахождения экстремума сформулирована в формулах (1.8) и (1.9). Функция Лагранжа:

viri + г/2г2 -rf L = - + Л (г/і + v2 - 1),

<7Т

где ат = \Jv\a\ + v\a\ + СОУ(Ді, Д2). Для записи условий первого порядка понадобится вычисление частной производной от <тт по переменной ь>\.

да

= a^ivial+v 2Соу(ДьД2))

Тогда

дЬ гі°т ~ ~7 (г/юі + г/2 Cov(i?i, Дг))(г/ігі + г/2г2 - rf) dv\ о+

Решение. Рассмотрим два портфеля. Первый состоит из одного опциона колл и наличных денег на сумму Ke~r(-T~t*>. Второй портфель состоит из одного опциона пут и одного актива. Начальные цены портфелей равны с+ Ke~r(-T~t*> и p+S(t) соответственно.

Конечная цена первого портфеля равна

fom т.т т. fS(T), если S(T)>K max{S(T - К, 0} + К = '' v 7 .

^ К, если Ь < К

Конечная цена второго портфеля равна

Из равенства цен портфелей в момент времени Т при отсутствии арбитражных возможностей следует равенство цен этих портфелей в начальный момент времени t. Формула доказана.

Пример 4. Корпорация купила за 5 долларов колл опцион на некоторый актив с ценой исполнения К, равной 100 долларов, и днём исполнения Т, наступающим через два месяца. Игнорируя стоимость хранения денег, найдите зависимость прибыли, которую получит корпорация, от цены S(T) актива в момент исполнения Т.

Решение. Очевидно, что опцион будет реализован, только если цена актива S(T) больше цены поставки К, S(T) > 100. Поэтому, игнорируя стоимость хранения денег, получим, что прибыль от опциона равна max {S(T) - 100,0} -5.

5(П

Пример 5. Корпорация купила за 5 долларов колл опцион на некоторый актив с ценой ис- 0 полнения К, равной 100 долларов, и днём исполнения Т, наступающим через два месяца. -5

Предполагая, что процентная ставка постоян- 90 95 100 105 110 на и равна 8% годовых, найдите зависимость Рис. 7. Прибыль от прибыли, которую получит корпорация, от це- колл опциона, ны S(T) актива в момент исполнения Т.

Решение. Опцион будет реализован, если цена актива S(T) больше цены поставки К: S(T) > 100. Для вычисления прибыли в момент времени Т нужно затраченные деньги на покупку опциона дисконтировать к этому моменту времени. Получится 5е° 08-2/12 ^ 5_qy_ Поэтому прибыль от опциона равна max {S(T) —

100,0} -5.07.

Портфель в соответствует рассмотренной ранее стратегии. Отрицательная третья координата вектора в означает, что инвестор заключает фьючерсный котракт на продажу (занимает короткую позицию по фьючерсу). Тогда, согласно (3.2) и (3.6),

Пе(т) = e-«S(T), Пв(Т) = S(T) + Пт,т] ~ S(T) = Пг,т]-

Следовательно, портфель 6(t) является безрисковым в момент времени Т. Согласно (3.1), Пе(Т) = Пе(т)ег(т-Т). Значит,

Формула (3.6) установлена.

Остаётся проверить, что портфель 6(t) является допустимым, то есть с вероятностью 1 неравенство ne(t) ^ — С выполнено для некоторого С > 0 и произвольных t ? [т, Т]. Итак,

ne(t) =e-qiT-tKS(t)-F(t).

Согласно (3.2) и (3.6),

П\t) = - (S(t)e(r-MT-V - ^[TjT]) e-r(-T=

Число ?p[TjT]e-r(T-r) не зависит от t Є [т,Т], следовательно, портфель в является допустимым.

Пример 2. Пут опцион на некоторый базовый актив с ценой S(t) исполняется в момент времени Т по цене К. Пользуясь отсутствием арбитража на рынке, докажите, что цена P(t) пут опциона удовлетворяет неравенству

P(t) ^ Ке-г(т-^ - S(t).

Решение. Рассмотрим два портфеля. Первый состоит из одного пут опциона и одного актива, а второй из наличных денег на сумму Ке-г(т-t). Тогда

конечная цена первого портфеля не ниже цены второго портфеля. Следовательно, такое же соотношение между ценами портфелей справедливо и в начальный момент времени t.

Пример 3. Докажите формулу (3.7).

Условия первого порядка заключаются в равенстве нулю частных производных функции Лагранжа по переменным v2 и А.

г\от ~ ^(^іо-і + Cov( Ді, Д2 ))(z/iri + v2r2 -rf)

5 Ь A — U, I 1.10)

crj,

n1/1+1/2 = 1. (1.12)

Пользуясь условиями первого порядка, полученными в задаче 19, выведите уравнение SML.

Указание. Умножая равенства (1.10) и (1.11) на Oj, и заменяя v\r\ + v2r2 на гт, имеем:

П4 - {Vla\ + v2 СОУ(ДЬ R2)){rT - rf) + А о* = 0, (1.13) Г2<4 - (у2а2 + v\ СО v(R1,R2))(rT - rf) + А а^ = 0. (1.14)

Умножим первое из полученных уравнений на v\, а второе на v2 и сложим. В результате

r\V\Oj< + r2v2aj, — о~т(гт ~ ff) + = О-

Вновь заменяя г\v\ + r2v2 на гт, получим после преобразований, что А = —rf/ат • Пользуясь линейностью ковариации по своим аргументам, найдём, что Cov(Ri, Rt) = Cov(Ri,i>iRi + v2R2) = v\a\ + v2 Cov(Ri, R2). Тогда (1.13) имеет вид

гісту — СОУ(ДІ , RT){TT — rf) — rfO\ = 0. Следовательно,

(ri - rf)a% = (rT - rf) Co \(R1,RT). Уравнение SML получено.

Может ли в условиях САРМ в рыночный портфель входить (в частности) два актива А(СГА,ГА) И В(АВ,ГВ), для которых А А <

и г А > Г в.

Указание. Воспользуйтесь уравнением SML.

Рыночный портфель состоит из трёх активов А2 и A3: Т = v\A\ + V2A2 + V3A3. Известно, что v\ = 0.3, V2 = 0.4, v3 = 0.3, Соv(RuRT) = 230, Соv(R2,RT) = 280, Соv(R3,RT) = 250. Найдите риск рыночного портфеля Т.

На рынке ценных бумаг существуют только два рискованных актива А(0.067,0.18) и 5(0.14,0.32) и безрисковый актив F, доходность которого 0.09. Известно, что СоV(RB,RT) = 0.0007, где Т — рыночный портфель, имеющий ожидаемую доходность 0.23 и риск 0.014. Нарисуйте рыночную линию CML, рыночную линию SML ценных бумаг. Укажите точки А и В на прямой SML. Не забудьте подписать оси координат. Можно ли нарисовать линии CML и SML на одном графике?

Лежит ли безрисковый актив на прямой SML?

Дисперсия рыночного портфеля равна 490, ковариация ценных бумаг А и В равна 470, "бета" ценной бумаги А равна 1.20. Найдите "бету" ценной бумаги В.

Указание. Примените формулу (1.6).

Рассмотрим два портфеля: один, состоящий из четырёх ценных бумаг, а второй — из десяти. Все ценные бумаги некоррелированы, имеют "бета" коэффициент, равный 1, и собственный риск в 30%. В обоих портфелях доли всех ценных бумаг одинаковы. Вычислите общий риск обоих портфелей, если риск рыночного портфеля составляет 20%.

<< | >>
Источник: Шаповал А. Б.. Математические методы финансового анализа: Портфельный анализ, модели ценообразования, производные финансовые инструменты. — М.: Финансовая академия при Правительстве РФ, кафедра "Математика и финансовые приложения",2005. - 47 с.. 2005

Еще по теме Вопросы и задачи: