<<
>>

Вопросы и задачи

Цепа фьючерса с ценой исполнения ір и днём исполнения Т вычисляется в некоторый момент времени t по формуле / = S — ipe~r(T~t\j где S = S(t) — цена актива, на который выписан фьючерс в момент времени t.
Проверьте, что функция / удовлетворяет уравнению Блэка-Шоулза.

Докажите, что чем выше текущая цена акции, тем выше цена колл опциона при неизменных цене исполнения опциона и волатиль- ности. Определить увеличивается или уменьшается цена опциона колл при увеличении цены исполнения и неизменных остальных параметрах. Аналогичный вопрос о зависимости цены опциона колл от волатильности.

Докажите, что чем выше текущая цена акции, тем ниже цена пут опциона при неизменных цене исполнения опциона и волатильности. Определить увеличивается или уменьшается цена опциона пут при увеличении цены исполнения и неизменных остальных параметрах. Аналогичный вопрос о зависимости цены опциона пут от волатильности.

Цена акции $40. Ожидаемая доходность акции — 15% годовых, волатильность — 30%. Найти распределение вероятностей для доходности акции, полученной за два года.

Указание. Цена акции S(T) удовлетворяет уравнению

—= uAt + а АХ. S(T) Р

¦С(*) = Р " 1 < ж } =

Доходность — это случайная величина Сі равная (S(T) — So)/So = S(T)/So — 1. Её функция распределения FQ(X) равна:

= P{S(T) < (x + l)So}=Fs(T)((x + l)So),

Рис. 2. (а) Оптимальный портфель

Рис. 2. (а) Оптимальный портфель

П* находится в точке касания множества Е эффективных портфелей и линии уровня.
(Ь) Линии уровня функции а2 г — b2(r2 + а2).Стрелка показывает направление роста функции полезности.

Предполагается, что все инвесторы одинаково оценивают ожидаемую доходность и риск активов. Следовательно, эффективное множество портфелей не зависит от предпочтений инвестора. Следует ли из этого, что все инвесторы сформируют один и тот же портфель? Нет, не следует.

Каждому инвестору соответствует функция полезности U(a,r), Эта функция паре (и, г) — (риск, ожидаемая доходность) — ставит в соответствие вещественное число. Значение функции U(a, г) можно понимать как удовольствие или удовлетворение инвестора от портфеля, риск которого равен а, а ожидаемая доходность — г. Естественно, что инвестор стремится сформировать портфель таким, образом, чтобы полученное значение функции полезности было наибольшим.

Решения г (а) уравнения U(a,r) = С называются линиями уровня функции U (или кривыми безразличия инвестора). Предполагается, что и^(а, г) < 0 (нерасположенность к риску), U'r{a,r) > О (ненасыщаемость) и линии уровня функции U как функции г от переменной а выпуклы (существенная нерасположенность к риску). Типичный вид линий уровня функции полезности показан на рис. 2Ь. Стрелка на рисунке показывает направление роста функции полезности.

Портфель П*, имеющий ожидаемую доходность г* и риск а*, называется оптимальным , если на нём функция полезности U достигает своего наибольшего значения U* = U(a* ,г*) среди всех до-

Рис. 3. (а) Эффективные портфели, состоящие только из рискованных активов —кривая Ег, из всех активов — луч FT; F — безрисковый актив, Т — точка касания FT и Er. (Ь) Оптимальный портфель П* находится в точке касания линии уровня функции полезности и луча [FT).

Рис. 3. (а) Эффективные портфели, состоящие только из рискованных активов —кривая Ег, из всех активов — луч FT; F — безрисковый актив, Т — точка касания FT и Er. (Ь) Оптимальный портфель П* находится в точке касания линии уровня функции полезности и луча [FT).

Стрелка показывает направление роста функции полезности.

пустимых портфелей. Оптимальный портфель на рис. 2а находится в точке П* касания линии уровня функции полезности и эффективного множества портфелей.

<< | >>
Источник: Шаповал А. Б.. Математические методы финансового анализа: Портфельный анализ, модели ценообразования, производные финансовые инструменты. — М.: Финансовая академия при Правительстве РФ, кафедра "Математика и финансовые приложения",2005. - 47 с.. 2005

Еще по теме Вопросы и задачи: