Процессы с ненулевым средним
Случайные процессы, удовлетворяющие уравнению (2.2), достаточно сложны. Поэтому в качестве подготовительного этапа рассмотрим сначала случайные процессы Y(t), малые изменения которого зависят от времени, но не зависят от У:
АУ = aAt + bAw, (2.3)
где а и b — произвольные фиксированные числа, aw — винеровский процесс.
Уравнение (2.3) изучается на некотором интервале t Є [0, Т], где Т кратно At.Как понимать уравнение (2.3)? Разобьём отрезок [0,Т] на интервалы длины At. Значение Y на правом конце интервала вычис-ляется с помощью (2.3) через значение на левом конце интервала, например,
У (At) = У(0) + aAt + bw(At) - bw(0).
На рис. 4 показаны примеры трёх процессов Y(t).
Заметим, что "случайность" в процесс Y вносит только второе слагаемое bAw правой части уравнения (2.3). Математическое ожидание
М АУ = aAt + Ъ М Aw = aAt,
Тогда (задача 14) р' + q' = 1, и число J2j=jo Ci(puy(qd)n-ie-nrAt равно вероятности b(^jo,n,p') по крайней мере jo успехов в схеме Бернулли из п испытаний с вероятностью успеха р' в каждом испытании. Значит,
с= S(t)b(^jo,n,p') - Кe-nrAtb(^jo, п,р). (3.12)
3.4.
2.3.