<<
>>

Примеры

Пример 1. Текущая цена акции равна 20. За каждую единицу времени цена акции либо увеличивается на 2 с вероятностью 2/3, либо уменьшается на 2 с вероятностью 1/3. Найдите вероятность того, что 6 единиц времени спустя цена акции будет равна 24.

Решение.

Чтобы цена акции оказалась равной 24 через 6 единиц времени, она обязательно должна была 4 раза повышаться и 2 раза понижаться. Изменение цены акции можно рассматривать как схему Бернулли из 6 испытаний. Результатом испытания является повышение или понижение цены за единицу времени. Успехом назовём повышение цены. По условию задачи вероятность успеха равна 2/3. Тогда цена акции окажется равной 24 при 4 успехах в 6 испытаниях схемы Бернулли. Их вероятность равна С| • (2/3)4(1 /3)2 = 0,6584.

Пример 2. С помощью леммы Ито определите какому эволюционному уравнению удовлетворяет процесс \w\, где wt — винеровский процесс.

Решение. Из леммы Ито следует, что

Положим f(t,w) = \w2. Тогда = 0, = w т^ = 1. Следова-тельно, из 2.10

A(\wt) =wtAw+^At.

Пример 3. Пусть 5(0) = $40, /х = 16% годовых а = 20% годовых. Найдите распределение цены актива 5(Т) через 1/2 года.

Предположим, что до дня поставки фьючерса ожидается получение дохода, который в текущий момент времени г оценивается равным /. Тогда

V[T,T] = (S{T)-iy^\ (3.5)

Пусть акция обеспечивает дивиденды, равные q% годовых. Тогда

Пг,т] = (3.6)

Вывод формул (3.6) и (3.5) является содержанием задачи 3, а формула (3.6) устанавливается в примере 1.

Колл опцион или просто колл — это ценная бумага, которая даёт право её владельцу купить определённый актив до определённого дня за определённую цену. Этот актив называется базовым активом. Пут опцион или просто пут даёт право владельцу продать базовый актив до определённого дня за определённую цену. Цена называется ценой исполнения; указанный день — днём, исполнения.

Далее, мы будем обсуждать те опционы, которые могут быть исполнены только в последний день (американские опционы).

За обладание опционом нужно заплатить определённую цену. Эта цена называется премией или ценой опциона. Необходимость заплатить премию за обладание опционом принципиально отличает опционы от фьючерсов.

Цена опциона колл определяется случайным процессом c(t), для которого известно, что в момент Т исполнения опциона

с{Т) = max {S(T) - К, О}.

Аналогично, цена опциона пут определяется случайным процессом P(t), для которого известно, что в момент Т исполнения опциона

Р(Т) = max {К — S(T),0}.

Пусть опционы колл и пут выписаны на одинаковый базовый актив с ценой S(t). Опционы исполняются в момент времени Т по цене К. Тогда цены c(t) и P(t) опционов колл и пут соответственно удовлетворяют соотношению

c{t) + Ke-r{T-^ =P(t) + S(t). (3.7)

Равенство (3.7) называется паритетом опционов колл и пут.

для любых t\ и t2.

Портфель, сформированный в момент времени t\ называется безрисковым в момент времени t2, если его цена П(іг) известна заранее, то есть П(?г) равно некоторому числу с вероятностью 1 при каждом t2. В силу отсутствия арбитража на рынке цены n(ti) и П(іг) безрискового портфеля в моменты времени t\ и t2 связаны соотношением

Ii(t2)=er^-t^Ii(tl). (3.1)

Фьючерс — это соглашение продать или купить актив в определённое время в будущем за определённую цену. Цена ір, по которой будет совершена покупка или продажа, называется ценой поставки актива или фьючерсной ценой актива, а время Т покупки или продажи называется временем или днём поставки. Актив, на который выписан фьючерс, называется базовым.

Фьючерс задаётся временем г, когда заключается контракт, временем поставки Т и ценой поставки ip = ?>[TjT]

Цена фьючерсного контракта Р[Т)т] (t), заключённого в момент времени г с днём поставки Т в промежуточный момент времени t определяется как разность фьючерсных цен, определённых в моменты времени t и г с днём поставки Т, приведённая к моменту времени t по безрисковой процентной ставке г.

В случае, когда безрисковая процентная ставка постоянна данное определение может быть записано в виде:

F[T>n(t) = {nt,T] ~ <Р[т,т\) (3-2)

В момент времени г, когда заключается фьючерсный контракт, цена фьючерса /|т,т] (т) = 0, а в момент поставки /|т,т] (Т) = ¦

Пусть до дня поставки фьючерса не предполагается ни получение дохода от актива, ни получение дивидендов. Тогда фьючерсная цена ??[TjT] равна ожидаемой будущей цене актива:

<р[т,п =S(r)e^T-\ (3.3)

При отсутствии выплат по базовому активу формула (3.3) позволяет упростить выражение (3.2) для цены FjT)T](t) фьючерса в момент времени t:

F[TyT]{t) = S{t) - (3.4)

Укажите доверительный интервал значений S(T) через 1/2 года с надёжностью 0.95.

Решение. По формуле (2.6) при t = 0.5

InS(T) ~ N(3.759, 0.142).

Доверительный интервал значений S(T) с надёжностью 0.95 находится из соотношения

Р { In S(T) - M(ln S(T)) I < 1.960-} = 0.95.

Подставляя значения математического ожидания и среденквадра- тичного отклонения случайной величины In S(T), получим

3.759-1.96-0.14 < InS(T) < 3.759 + 1.96-0.14 или S(T) Є [32.5,56.6].

Пример 4. Денежный поток У фирмы, измеряемый в миллионах долларов, удовлетворяет уравнению

АУ = 2А t + 3Aw.

Какой должен быть начальный капитал фирмы, чтобы с вероятностью 0.95 капитал фирмы не оказался отрицательным 9 месяцев спустя.

Решение. Согласно, (2.4) и (2.5), капитал фирмы У(0.75) девять месяцев спустя является нормально распределённой случайной величиной с математическим ожиданием то = 2-0.75 + У(0) = 1.5 + У(0) и дисперсией а2 = 9-0.75 = 6.75. По условию задачи вероятность Р{У(0.75) > 0} = 0.95. Значит,

_ ГУ(0.75) — то то] Р I — > \ = 0.95.

Случайная величина то ^ N(0,1), поэтому

р f У(0-75) -то > _то| = ф ^то^

где Ф(х) — нормальная функция распределения. Итак, Ф(ш/ст) = 0.95. Значения функции Ф приведены в таблице 1 в конце раздела. По таблице находим, что т/а = 1.645, то есть 1.5 + У(0) = или У(0) = 2.7738. Следовательно, начальный капитал фирмы должен быть больше, чем 2.7738 миллионов долларов.

Таблица 1. Нормальная функция распределения t т t т t т t т 0.0 0.500000 1.0 0.841345 2.0 0.977250 3.0 0.998650 0.1 0.539828 1.1 0.864334 2.1 0.982136 3.1 0.999032 0.2 0.579260 1.2 0.884930 2.2 0.986097 3.2 0.999313 0.3 0.617911 1.3 0.903200 2.3 0.989276 3.3 0.999517 0.4 0.655422 1.4 0.919243 2.4 0.991802 3.4 0.999663 0.5 0.691462 1.5 0.933193 2.5 0.993790 3.5 0.999767 0.6 0.725747 1.6 0.945201 2.6 0.995339 3.6 0.999841 0.7 0.758036 1.7 0.955435 2.7 0.996533 3.7 0.999892 0.8 0.788145 1.8 0.964070 2.8 0.997445 3.8 0.999928 0.9 0.815940 1.9 0.971283 2.9 0.998134 3.9 0.999952

<< | >>
Источник: Шаповал А. Б.. Математические методы финансового анализа: Портфельный анализ, модели ценообразования, производные финансовые инструменты. — М.: Финансовая академия при Правительстве РФ, кафедра "Математика и финансовые приложения",2005. - 47 с.. 2005

Еще по теме Примеры: