Предельный переход
Пусть цена некоторого актива в текущий момент времени г равна S(T) . Цена исполнения опциона колл на этот актив с моментом исполнения Т равна К. Вычислим цену этого опциона в момент времени т.
Разделим временной интервал [г, Т] на п периодов одинаковой длины (Т — т)/п. Вычисление цены колл опциона проводится в рамках n-периодной биномиальной модели ценообразования опционов, а затем находится её предел при п —> оо.Итак, цена с опциона в n-периодной биномиальной модели определяется формулой (3.12). Согласно определению, jo стремится к In [К/(S(t)dn))/ 1п(м/d) при ті —^ оо. По интегральной формуле Му- авра-Лапласа
b&j0,n,p) - 1 -Ф (, b&j0,n,p') -
y/npq J \ л/np'q
где Ф(х) = ^ dt — нормальная функция распределения.
Пользуясь определением (3.16) чисел и ad, получим, что при п —> оо
с = 5(г)Ф(гіі) - Ke-r^-T4{d2), (3.17)
где
\ii(S(t)/К) + (г + а2/2)(Т — т)
d\
ал/Т — т
ал/Т — т
Найденную формулу (3.17) для цены колл опциона называют формулой Блэка-Шоулза.
Доказательство формулы (3.17) использует разложение экспоненты в ряд
ех = 1 + х+^+.... (3.18)
Подставив и и d из формулы (3.17) в равенство (3.8), определяющее числа р ид, получим:
erAt — еР
Раскладывая экспоненты в ряд по формуле (3.18) и пренебрегая слагаемыми, малыми по сравнению с At, получим, что
ал/At + (г - а212) At ал/At - (г - а212) At
Р ~ т= 1 Я ~ т= •
2ал/М 2ал/М
Если неопределённость рыночной цены отсутствует, то цена актива S удовлетворяет уравнению
AS = fiSAt, (2.1)
где At — достаточно мало. При At —> 0 уравнение (2.1) становится дифференциальным
S' = /J.S.
Его решение S(T) = S(0)емТ определяет цену S(T) актива в момент времени Т.
На практике однако всегда существует неопределённость цены актива. Для описания неопределённости рассматриваются функции времени, которые при каждом значении аргумента являются случайными величинами.
Это свойство определяет случайный процесс.Случайный процесс w{t) называется винеровским, если го(0) = О, и случайные величины w(t\ +s) —w(t\) и w(t2 + s) — w(t2) имеют нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и с дисперсией, равной s и независимы при любых t\, t2, s, образующих непересекающиеся интервалы (ti,ti + s) и (t2,t2 + s).
График винеровского процесса можно получить, например, следующим образом. Зафиксируем некоторое число h > 0 и определим семейство случайных величины Wh(t) в моменты времени t = 0, h, 2h,.... Положим Wh(0) = 0. Разность AWh = Wh((k+l)h) - Wh(kh) является случайной величиной и задаётся таблицей: AWh -6 6 Р 1/2 1/2 Можно представлять, что значение случайной величины Wh ((&+ l)/i) получается из значения Wh(kh) с помощью бросания монеты. Тогда математическое ожидание случайной величины AWh равно М(АИ//1) = 0, а дисперсия D(AWh) = S2. Число й полагают равным Vh, чтобы дисперсия ~D(AWh) оказалась равной h.
Оказывается, что винеровский процесс w(t) получается из семейства случайных величин Wh(t) при h —> 0. Сам предельный переход достаточно труден и здесь не рассматривается. Следовательно, график семейства Wh (t) при малых h является хорошим приближением винеровского процесса. Например, для наглядного изображения винеровского процесса на отрезке [0,1] достаточно взять h = 0.01.
В простейшем случае, когда /х = 0, то есть фондовый рынок в среднем не растёт и не убывает, предполагается, что
AS = aS Aw,
где w(t) — винеровский процесс, а а > 0 — некоторое положительное число. Тот факт, что приращения цены актива пропорциональны цене, выражает естественное предположение, что неопределённость выражения (S(t + At) — S(t))/S(t) не зависит от S. Это означает, что инвестор одинаково не уверен, какая получится доля прибыли при цене актива в $20 и при цене актива в $100.
Модель поведения цены активов в общем случае определяется уравнением
A S(t) = /j,S(t)At + aS(t) Aw, (2.2)
Коэффициент а, являющийся единицей неопределённости, называют волатильностью (volatility).
2.2.