2.1. Постановка задачи

Предположим, что цена актива зависит от общих тенденций рынка и неопределённости, связанной с данным активом. Естественно считать, что ожидаемая прибыль от актива пропорциональна цене актива; то есть, если инвестор оценивает прибыль как 10% годовых при рыночной цене актива в $20, то при цене актива в $100, он также оценивает прибыль в 10% годовых.

Следовательно, за малый интервал времени At ожидаемое изменение цены актива пропорционально SAt. Через /х обозначим коэффициент пропорциональности.

Согласно определению,

ln(K/S(r)) + пал/At

Зо

2ал/АІ

Так как nAt = Т — т, из двух последних формул следует, что In (K/S(T)) - (г - А2/2)(Т - т)

W1 •

Далее, npq ~ га/4. Поэтому

Зо ~ np _ In (K/S(T)~) — (г — А2/2)(Т — т) ^

¦s/rvpq сгл/nAt

По свойствам нормальной функции распределения Ф(ж) = 1 — Ф(—х). Следовательно,

b(^j0,n,p) Ф(гі2).

Аналогично устанавливается, что b(^jo,n,p') —»¦ Ф(<іі). Тогда формула Блэка-Шоулза следует из (3.17).

Примеры

Пример 1. Докажите формулу (3.6). Решение. Рассмотрим следующую стратегию:

• купить акций и вкладывать дивидиенды в акции

вступить во фьчерсный контракт на продажу 1 акции.

Тогда количество акций ко дню поставки t = Т увеличится и станет равным е-ч(т-т)еЧ(т-т) = 1. Эта акция и будет продана в соответствии с фьючерсным контрактом по цене р>[т,т} ¦

Итак, затрачено S{r)e~q(T~T^ денег в начальный момент времени t = т, а получено ф[т,т] ПРИ t = Т. Приравнивая денежные потоки в один и тот же момент времени с помощью дисконтирующего множителя ег(т-т\/ получим <Р[т,т] = S{T)e~q(T~T^ег(т~т\ Формула доказана.

Формализуем сделанное рассуждение в терминах раздела 2.4. Предположим, что рынок (So(t), S(t), F(t)) состоит из безрискового актива, одного рискованного актива и фьючерса на этот актив. Рассмотрим портфель

<>(*) = (О, е-«<г-*>,-1).

3.5.

<< | >>

↑

Источник: Шаповал А. Б.. Математические методы финансового анализа: Портфельный анализ, модели ценообразования, производные финансовые инструменты. — М.: Финансовая академия при Правительстве РФ, кафедра "Математика и финансовые приложения",2005. - 47 с.. 2005

Еще по теме 2.1. Постановка задачи:

- Биржи - Валютная система - Государственные и муниципальные финансы в России - Государственный и муниципальный заказ - Государственный финансовый контроль - Державні і муніципальні фінанси в Україні - Инвестиционное право - Лизинг - Основы финансов - Рынок ценных бумаг - Таможенные платежи - Управление капиталом - Финансовое право - Финансовые пирамиды - Финансовые расчеты - Финансовые риски - Финансовые рынки - Финансовый анализ - Финансовый кризис - Финансовый учет - Финансы и кредит - Финансы предприятий - Финансы, денежное обращение и кредит -

- Аудиторская деятельность - Банки - Бизнес - Бухгалтерский учет - Кредит - Маркетинг - Менеджмент - Философия - Финансы - Экономика -