Однопериодная биномиальная модель.
исполнения К.
/S(t)u, cu
S(t), C^
^S(t)d, cd
Рис. 5. Однопериодная модель
Пусть в текущий момент времени t цена актива равна S(t). Предположим, что в момент времени t + At возможны только два исхода: цена S(t + At) актива равна S(t)u или S(t)d (рис.
5). Предположим для определённости, что и > 1 и d < 1. Вычислим текущую цену с опциона колл на этот актив со временем исполнения t + At и ценойОпцион будет реализован, если рыночная цена актива S(t + At) окажется выше, чем цена исполнения К. Следовательно, цена c(t + At) опциона в момент исполнения: c(t + At) = max {^(t + At) - К, О}.
Сформируем безрисковый портфель в момент времени t, состоящий из 1 акции и v опционов колл. Число v подбирается так, чтобы цена портфеля в момент времени t + At была одинаковой при любом из двух возможных значений S(t + At). Если цена актива S(t + At) = S(t)u, то цена портфеля равна S(t)u + vcu. Если цена актива S(t + At) = S(t)d, то цена портфеля в момент времени t + At равна S(t)d + vca- Следовательно,
S(t)u + cuv = S(t)d + CdA.
Значит,
S(t)(u-d) v = .
C-d C-u
Легко сообразить, что полученное число v отрицательное. Это означает, что v опционов, входящих в безрисковый портфель, нужно продавать.
Цена П(+Д( безрискового портфеля в момент времени t + At равна
тт cv-л S(t)cu(u-d) S(t)(cud - cdu)
ПІ+ДІ = S(t)u = .
C-u Cd C-u C-d,
Si. В этом случае условия согласованности записываются в виде:
dS0(t) = r(t)S0(t)dt dSi(t) = fj,iSi(t)dt + Уравнения (2.7) и (2.8) интерпретируются в экономических терминах следующим образом: Существует возможность покупки актива на любую желаемую сумму денег. Короткие продажи (возможность продавать ценные бумаги, не имея их в наличии) разрешены. Никаких ограничений на них не накладываются. Налоги и операционные издержки отсутствуют. Портфелем называется вектор 9 — (Оо(і),в\(і),..., 6n(t),6n+1 (t), 6n+m(t)). Компоненты вектора представляют собой количество ценных бумаг с номерами 0, ..., п и их производных, которыми инвестор владеет в момент времени t. Цена П0(і) портфеля в определяется равенством Пе(t) = во(t)S0{t) + .. (2.9) Так как (2.7) и (2.8) понимаются как предел дискретных уравнений, из (2.9) следует, что dne(t) = 9o{t)dSo{t) + .. ,+en(t)dSn(t)+en+1(t)dD1(t) + .. .+en+m(t)dDm(t). Полученное уравнение означает, что никакие деньги не вводятся в портфель и не выводятся из него, возможно только перераспределение средств внутри портфеля. Такие портфели называются самофинансирующимися. Портфель 9(t) называется допустимым, если существует такое число К > 0 (зависящее от портфеля в), что Пе(і) ^ —К с вероятностью 1. Сделанное ограничение отражает естественное условие фондового рынка: должен существовать предел для размера долга, который могут допустить кредиторы. Арбитраж — это допустимый портфель в, цена которого Пе равна 0 в текущий момент времени to, а в некоторый будущий момент времени t\ > to цена ne(ti) неотрицательна с вероятностью 1, при-чём P{ne(ti) > 0} > 0. Таким образом, существование арбитража на рынке даёт возможность инвестору получить безрисковую прибыль. Оказывается, что при сформулированных предположениях арбитраж на рынке не существует.