<<
>>

Однопериодная биномиальная модель.

исполнения К.

/S(t)u, cu

S(t), C^

^S(t)d, cd

Рис. 5. Однопериодная модель

Пусть в текущий момент времени t цена актива равна S(t). Предположим, что в момент времени t + At возможны только два исхода: цена S(t + At) актива равна S(t)u или S(t)d (рис.

5). Предположим для определённости, что и > 1 и d < 1. Вычислим текущую цену с опциона колл на этот актив со временем исполнения t + At и ценой

Опцион будет реализован, если рыночная цена актива S(t + At) окажется выше, чем цена исполнения К. Следовательно, цена c(t + At) опциона в момент исполнения: c(t + At) = max {^(t + At) - К, О}.

Сформируем безрисковый портфель в момент времени t, состоящий из 1 акции и v опционов колл. Число v подбирается так, чтобы цена портфеля в момент времени t + At была одинаковой при любом из двух возможных значений S(t + At). Если цена актива S(t + At) = S(t)u, то цена портфеля равна S(t)u + vcu. Если цена актива S(t + At) = S(t)d, то цена портфеля в момент времени t + At равна S(t)d + vca- Следовательно,

S(t)u + cuv = S(t)d + CdA.

Значит,

S(t)(u-d) v = .

C-d C-u

Легко сообразить, что полученное число v отрицательное. Это означает, что v опционов, входящих в безрисковый портфель, нужно продавать.

Цена П(+Д( безрискового портфеля в момент времени t + At равна

тт cv-л S(t)cu(u-d) S(t)(cud - cdu)

ПІ+ДІ = S(t)u = .

C-u Cd C-u C-d,

Si. В этом случае условия согласованности записываются в виде:

dS0(t) = r(t)S0(t)dt dSi(t) = fj,iSi(t)dt + Уравнение (2.7) определяет безрисковый актив So, поскольку в правой части равенства отсутствует винеровский процесс. Функция r(t) называется процентной ставкой. Уравнение (2.8) можно понимать как дискретное уравнение (2.2) при малом интервале At.

Уравнения (2.7) и (2.8) интерпретируются в экономических терминах следующим образом:

Существует возможность покупки актива на любую желаемую сумму денег.

Короткие продажи (возможность продавать ценные бумаги, не имея их в наличии) разрешены. Никаких ограничений на них не накладываются.

Налоги и операционные издержки отсутствуют.

Портфелем называется вектор

9 — (Оо(і),в\(і),..., 6n(t),6n+1 (t), 6n+m(t)).

Компоненты вектора представляют собой количество ценных бумаг с номерами 0, ..., п и их производных, которыми инвестор владеет в момент времени t.

Цена П0(і) портфеля в определяется равенством

Пе(t) = во(t)S0{t) + ..

.+0n(t)Sn(t)+0n+i(t)Di(t) + .. .+0n+m(t)Dm(t).

(2.9)

Так как (2.7) и (2.8) понимаются как предел дискретных уравнений, из (2.9) следует, что

dne(t) = 9o{t)dSo{t) + .. ,+en(t)dSn(t)+en+1(t)dD1(t) + .. .+en+m(t)dDm(t).

Полученное уравнение означает, что никакие деньги не вводятся в портфель и не выводятся из него, возможно только перераспределение средств внутри портфеля. Такие портфели называются самофинансирующимися.

Портфель 9(t) называется допустимым, если существует такое число К > 0 (зависящее от портфеля в), что Пе(і) ^ —К с вероятностью 1. Сделанное ограничение отражает естественное условие

фондового рынка: должен существовать предел для размера долга, который могут допустить кредиторы.

Арбитраж — это допустимый портфель в, цена которого Пе равна 0 в текущий момент времени to, а в некоторый будущий момент времени t\ > to цена ne(ti) неотрицательна с вероятностью 1, при-чём P{ne(ti) > 0} > 0. Таким образом, существование арбитража на рынке даёт возможность инвестору получить безрисковую прибыль. Оказывается, что при сформулированных предположениях арбитраж на рынке не существует.

<< | >>
Источник: Шаповал А. Б.. Математические методы финансового анализа: Портфельный анализ, модели ценообразования, производные финансовые инструменты. — М.: Финансовая академия при Правительстве РФ, кафедра "Математика и финансовые приложения",2005. - 47 с.. 2005

Еще по теме Однопериодная биномиальная модель.: