Нейтральный к риску рынок
Нейтральным к риску называют такой рынок, в котором среднее значение произвольного финансового инструмента дисконтируется по процентной ставке. В терминах рассматриваемых моделей это означает, что случайные величины P{t\) и P(t2), обозначающие цены произвольного финансового инструмента в моменты времени t\ и t2 связаны формулой
MP(t2) = er(t2-tl}MP(ti). (3.13)
В частности, в момент времени t можно утверждать, что
М S(t + At) = S(t)erAt. (3.14)
Нейтральный к риску рынок вообще говоря невозможен, однако некоторые важные наблюдения, сделанные для безрискового рынка переносятся в реальный рынок.
Для начала заметим, что числа р и q, введённые в (3.8), можно интерпретировать для безрисковго рынка как вероятности событий S(t+At) = S(t)u и S(t+At) = S(t)d соответственно. Действительно, MS*(t + At) = S(t)up + S(t)d( 1 —p). Согласно (3.14),S{t)up + S(t)d( 1 -p)= S(t)erAt.
Откуда
erAt-d , ,
P= T- (3-15)
и — d
что совпадает с (3.8).
Константы и и d определяют так, чтобы случайная величина \a(S(t + At)) — ln(S'(t)) бьша нормальна распределена с дисперсией cr2At при любом t. Это условие согласуется с непрерывной моделью ценообразования актива. Можно, например, определить и и d следующим образом:
u=eaVAi, d=-=e-a^At. (3.16)
ДЛЯ СИ И CD, получим
„ — „-2 Г At
('CuuP2 + 2cudpg + cddq2), (3.9)
где cuu = max {w2S'(t) — if, 0}, cu(2 = max {udS(t) — if, 0}, cdd =max{d2S(t) - К, 0}.
3.3.