1.2. Модель Тобина

При любой возможной ожидаемой доходности портфеля г* эффективный портфель находится как портфель с ожидаемой доходностью г* и наименьшим риском. Доли рискованных активов в портфеле, имеющий наименьший риск среди всех портфелей с заданной ожидаемой доходностью г*, определяются соотношением

—У-^У-гоТ), (1.3)

(г — го I )TV 1(г —го/)

где ТУ = (иі, • • •, vn)T — доли рискованных активов в портфеле, V = (Cov(Ri, Rj))i ._1 — матрица ковариаций случайных величин Ri,

lnff(r) -то К--,

Второй интеграл в (4.12) равен:

к[ p(x)dx = KPfS(T) > К\ = КР\ , „ ,

JK 1 s I где то = In So + (г - а2/2)Т.

Случайная величина (In S (T) — то) / (ал/Т — t) имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Поэтому в Силу Определения (І2

К Г p{x)dc = Кр{ > -d2\ =К(і-Ф(-гІ2)),

J к I cryT -t J

где Ф(ж) — нормальная функция распределения. Из симметричности нормального распределения следует, что 1 — Ф( — d2) = Ф(гіг). Значит,

poo

К / p(x)dc = КФ(й2) (4.13)

J к

Упростим первый интеграл в правой части (4.12). Воспользуемся формулой 4.11 с то = In So + (Г — СГ2/2)(Г — t) и s = а\/Т — t. Тогда

/>оо />с

лдт: s

I xp(x)dx = І

J к J к

Сделаем замену переменных ? = (In ж — m)/s — s. Тогда нижный предел нового интеграла окажется равным

111K-lnS0-(r-aV2){T-t) _ aVT-t = aVT^t

Следовательно,

Г°° Г°° (c+s)2 л 2 ,2 Г°° с2

/ xp(x)dx = e-^^eCs+s+rnd( = e-+rn e~2dC

JK J-di J-di

Последний интеграл равен вероятности того, что нормально распределённая случайная величина с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1 оказалась больше, чем —dі. Эта вероятность равна 1 — Ф( — di) или Ф(<іі).

fOO 2 / 2 \

/ xp(x)dc = e^(-T-t)+,nSo+\r-^)(T-t)(d1) = S0er(T-t)(d1). (4.14) J к

Окончательно, из (4.12), (4.13) и (4.14) получаем, что

М (max{S(T) - К,0}) = S0er(T~t)Ф(гіі) - K®(d2).

где

\n{S{t)/K) + {r + a2/2){T-t)

d\

ry/T^t

d2 =

ал/Т — t

определяет решение f(S(t),t) = c(t) уравнения (4.5) при условии (4.6). Таким образом, два различных подхода, исследованных в моделях Коха-Росса-Рубинштейна и Блэка-Шоулза приводят к одной и той же формуле цены опциона.

Аналогично находится формула цены Р{т) опциона пут с моментом исполнения Т по цене К:

Р(т) = Ke-riT-T4(-d2) - 5(г)Ф(-гіі). (4.8)

Для доказательства формулы solblseheall применим формулу (3.13) к колл опциону:

c(t) = е-г(т-г) М ( max {S{T) - К, 0}), (4.9)

где

In S(T) ~ TV (in S(0) + (г — а2/2)(Т — t), a2 (T — t)). (4.10)

Формула (4.10) совпадает с (2.6), если в соответствии со свойствами нейтрального к риску рынка заменить /І на г.

Вычисление правой части (4.9) — рутинная процедура подсчета интегралов, которой и посвящена оставшаяся часть этого параграфа.

Пусть 1п? распределена с нормально математическим ожиданием m и дисперсией s2. Тогда плотность р случайной величины ? равна:

I (ID.-.ГЬ)2

р(х) = (4.11)

V Ittsx

при х > 0 и равна нулю при х ^ 0.

Согласно (4.9), для нахождения цены колл опциона c(t) достаточно вычислить математическое ожидание случайной величины max {S(T) — К, 0}. Итак,

р ОО

М ( max {S(T) — К, О}) = / (х - K)p(x)dx,

J к

где р(х) — плотность случайной величины S(T). Тогда

роо роо

М (max{S(T) - К,0}) = / x(p(x)dx - К p(x)dx. (4.12)

J к J к

~r = (ri,... ,гп)т — ожидаемые доходности рискованных активов, го — доходность безрискового актива, I =(1,...,1)т.