. Модель Блэка-Шоулза
Пусть S(t) цена некоторого базового актива в момент времени t, f(S(t),t) — цена производного финансового инструмента, основанного на этом активе, a w(t) — винеровский процесс.
Тогда по лемме Ито с точностью до о(Аt)Заметим, что винеровский процесс Aw в формулах (2.2) и (4.1) одинаков. Поэтому комбинируя опцион и акции можно составить без-
денег, нарисуйте график зависимости прибыли от колл опциона в зависимости от цены S(T) актива ко дню исполнения Т.
Инвестор продаёт акцию за $30 и покупает колл на эту акцию за $3. Цена исполнения опциона $33. В момент исполнения опциона инвестор покупает акцию, либо исполняя опцион, либо на рынке. Естественно, что инвестор делает более выгодный для себя выбор. Пренебрегая разницей стоимости денег в различные моменты времени, нарисуйте график зависимости прибыли инвестора от этой операции.
Текущая цена актива равна 40. Предполагается, что месяц спустя цена актива может быть равна 38 или 42. В рамках однопериодной модели ценообразования опционов вычислите текущую стоимость месячного опциона колл на этот актив, цена исполнения которого равна 41. Процентная ставка г постоянна, начисляется непрерывно и равна 7% годовых.
Цена S(t) некоторого актива в текущий момент времени t равна $40, а его волатильность а = 20% годовых. В рамках однопериодной биномиальной модели вычислите текущую цену c(t) трёхмесячного опциона колл с ценой исполнения $42. Процентная ставка г постоянна, начисляется непрерывно и равна 9% годовых.
Текущая цена актива равна 40. В рамках однопериодной модели ценообразования опционов вычислите текущую стоимость месячного опциона пут на этот актив, цена исполнения которого равна 39. Волатильность актива а равна 20% годовых. Процентная ставка г постоянна, начисляется непрерывно и равна 7% годовых.
В однопериодной модели ценообразования опционов цена акции в начале периода равна 32, а в конце периода — 30 или 35.
Цена исполнения колл опциона со сроком исполнения в конце периода равна 34. Приведите пример безрискового портфеля, состоящего из акций и колл опционов на эту акцию.В однопериодной модели ценообразования опционов цена акции в начале периода равна 32, а в конце периода — 30 или 35. Цена исполнения пут опциона со сроком исполнения в конце периода равна 31. Приведите пример безрискового портфеля, состоящего из акций и пут опционов на эту акцию.
Текущая цена актива равна 40, волатильность — 20% годовых. В рамках двухпериодной биномиальной модели вычислите цену трёхмесячного колл опциона, цена исполнения которого равна 41. Про-
Так как искомая линия уровня не только имеет наклон к, но и проходит через точку П*, то г = 0.3 — 0.21. Подставляя это выраже-ние для г в предыдущую формулу, получим, что t = 3/7. Тогда П « (0.141,0.214).
Пример 5. Предположим, что на рынке ценных бумаг существует только два актива А\ и Ач, а рыночный портфель Т = 0.2А\ + 0.8^2. Известно, что Cov(i?i, RT) = 200, Соу(Дг, Дг) = 220. Найдите риск рыночного портфеля Т.
Решение. Очевидно, = СоV(RT,RT) = СОУ(0.2ДІ + О.8Д2,RT)- По свойствам ковариации а\ = 0.2СОУ(ДІ,RT) + 0.8Соу(Дг, Дг)- Тогда риск ат рыночного портфеля равен у/216 « 14.7.
Вопросы и задачи
Портфель состоит из трёх активов А, В и С, взятых в равных долях. Ожидаемые доходности равны ГА = 20%, ГВ = 10%, ГС = 30%. Найдите ожидаемую доходность портфеля.
С вероятностью 1/2 доходность активов А и В равна 0.2 и 0 соответственно и с вероятностью 1/2 эти доходности равны 0 и 0.3. (а) Вычислите ожидаемую доходность активов А и В.
(б) Составьте таблицу двумерного распределения доходностей активов А и В.
(в) Вычислите ожидаемую доходность и риск портфеля П = 0.5(А + В).
Инвестор может инвестировать деньги в активы А и В, ожидаемая доходность и риск которых указаны в таблице: Активы Ожидаемые доходности Риски А В 0.12 0.20 0.15 0.45 Портфель П = tA + (1 — t)B. (а) Вычислите ожидаемую доходность и риск портфелей, соответствующих значениям t, равным 0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0,7, 0.8, 0.9, 1.
Рассмотрите коэффициенты корреляции РАВ, равные —1, —0.5, 0, 0.5, 1.(б) Нарисуйте на одном графике найденные 50 портфелей. Проком-ментируйте замеченные закономерности.
(в) Какой минимум дисперсии среди портфелей, состоящих из двух полностью антикоррелирующих активов А и В ?
(г) Какой минимум дисперсии среди портфелей, состоящих из двух
полностью коррелирующих активов А и В ?
(д) Вопрос пункта (г) в случае, если доля актива В в портфеле П может быть отрицательной (то есть разрешена короткая продажа актива В).
(е) Предположим, что на рынке существуют п активов, имеющие ожидаемую доходность и риск такие же, как и актив А. Коэффициент корреляции любой пары активов равен 0.5. Найдите риск портфеля состоящего из этих активов. Доли всех активов в портфеле одинаковы.
Изобразите на координатной плоскости (а, г) (риск, ожидаемая доходность) множество допустимых портфелей, состоящих из двух некоррелированных активов А и В, для которых ожидаемые доходности ГА и ГВ равны 0.1 и 0.4, а риск А А И АВ — 0.2 и 0.3 соответственно.
Портфели состоят из двух активов А\ и А2. Ожидаемые доходности активов равны 0.1 и 0.2, а риски — 0.1 и 0.3 соответственно. Коэффициент корреляции активов равен 0.5. Среди допустимых портфелей найдите портфель П, имеющий минимальный риск. Вычислите риск и ожидаемую доходность портфеля П.
Сформулируйте задачу нахождения портфеля Тобина — минимизировать риск при заданной ожидаемой доходности г*. Портфель состоит из двух рискованных активов А и В, для которых г А = 0.2, гв = 0.3, а А = 0.1, ав = 0,4, РАВ = 0.5, и безрискового актива F, имеющего ожидаемую доходность гр = 0.05. Решите сформулированную задачу при г* = 0.30. Объясните, что означают полученные отрицательные доли.
Пусть ожидаемые доходности активов А\ и А2 равны 0.1 и 0.2, а их риск 0.1 и 0.3 соответственно. Ковариация этих активов равна нулю. Доходность безрискового актива F равна 0.09. Составьте портфель П из активов А\, А2 и F, такой, что его ожидаемая доходность равна 0.2, а риск минимален.
Пусть активы А, В и С на координатной плоскости (а, г) задаются точками:
А = (0.1,0.1), В = (0.14,0.20), С = (0.3,0.3).
Может ли эффективное множество портфелей быть линейной комбинацией только двух активов А и С ?Могут ли кривые безразличия инвестора пересекаться? Ответ обоснуйте.
трёхмесячного опциона колл с ценой исполнения $41. Процентная ставка г постоянна, начисляется непрерывно и равна 7% годовых.
Решение. По формулам (3.8), и = d = 1 /и, где а = 0.2,
At = 0.4. Тогда и = 1.1348, d = 0.8812. Два возможных значения цены S(t + At) актива в момент времени t + At равны S(t)u = 45.3936 и S(t)d = 35.2473. Цена опциона колл в момент исполнения равна max {S(t + At) — К, О}, то есть она принимает значение си = max {S(t)u -К, 0} = 4.3936 или cd = max {S(t)d -К, 0} = 0. Согласно (3.8),
„гAt _ J , prAt
—ratf \
c=e {cup+ cdq), где p = —, q= —.
и — а и — a
Подставляя найденные численные значения, получим: р = 0.5804, с = 2.4795.