Лемма Ито
Оказывается, что из уравнения (2.2) можно получить более простое уравнение вида (2.3). Для этого используется лемма Ито в следую-
щей формулировке. Пусть f(S,t) — произвольная функция имеющая две частные производные по первому аргументу и одну частную производную по второму аргументу.
Предположим, что AS удовлетворяет уравнению (2.2) при малых At, a Aw — винеровский процесс. ТогдаД/ = „sg д,„ + + i^g + §) Д( + о(М).
Воспользуемся леммой Ито для f(S,t) = lnS*. Тогда
c2l = i &Z = _J_ Ё1 = п as s' as2 s2' at
Следовательно, отбрасывая слагаемые малые, по сравнению с At, имеем
Д(1п S) = ^ - у ^ At + а Aw.
Установлено, что приращения случайной величины In S удовлетворяют уравнению вида (2.3). Это уравнение, в частности, означает, что случайная величина lnS'(T) — lnS'(t) имеет нормальное распределение с математическим ожиданием (р, — а2 /2) (Т — t) и дисперсией а2(Т — t). Введём обозначение ? ~ N(m, s2) для нормально распределённой случайной величины имеющей математическое ожидание то и дисперсию s2. Тогда
InS(T) ~ N (мS(t) + - у) (Т - t),a2(T - т)) . (2.6) 2.4. Построение модели
Рассуждения предыдущих разделов лежат в основе строгого математического построения. Рынком называется случайный вектор {So(t), Si(t),..., Sn(t), Di(t),..., Dm(t)}, где Dj(t) является функцией от So(t), ..., Sn(t), удовлетворяющий некоторым условиям согласованности. Случайные величины Si(t) интерпретируются как цена ценной бумаги или акции под номером і в момент времени t, a Dj (t) — как цена j-ото производного финансового инструмента. В простейшей модели, построенной ниже, рассматривается рынок, состоящий только из независимых случайных величин (ценных бумаг)
uu
S(t)u,c
S(t)uu,c
S(t), с
ud
S(t)d,c
S(t)ud,c
dd
S(t)dd,c
Рис. 6. Двухпериодная модель
Согласно формуле (3.1) цена II(t) этого портфеля в момент времени t вычисляется по формуле П(t) = U(t + At)e-rAt. С другой стороны, цена портфеля П(?) = S(t) + vc, где с = c(t) — текущая цена опциона колл. Итак,
s{t) _ S(t)(u-d)c = s(t)Cud-cdUe_rAt
Си Cd
Си Cd
ИЛИ
rAt-d и — d '
rAt
-rAt
(3.8)
q =
-d '
(cup+cdq), где р =
3.2.