<<
>>

Лемма Ито

Оказывается, что из уравнения (2.2) можно получить более простое уравнение вида (2.3). Для этого используется лемма Ито в следую-

щей формулировке. Пусть f(S,t) — произвольная функция имеющая две частные производные по первому аргументу и одну частную производную по второму аргументу.

Предположим, что AS удовлетворяет уравнению (2.2) при малых At, a Aw — винеровский процесс. Тогда

Д/ = „sg д,„ + + i^g + §) Д( + о(М).

Воспользуемся леммой Ито для f(S,t) = lnS*. Тогда

c2l = i &Z = _J_ Ё1 = п as s' as2 s2' at

Следовательно, отбрасывая слагаемые малые, по сравнению с At, имеем

Д(1п S) = ^ - у ^ At + а Aw.

Установлено, что приращения случайной величины In S удовлетворяют уравнению вида (2.3). Это уравнение, в частности, означает, что случайная величина lnS'(T) — lnS'(t) имеет нормальное распределение с математическим ожиданием (р, — а2 /2) (Т — t) и дисперсией а2(Т — t). Введём обозначение ? ~ N(m, s2) для нормально распределённой случайной величины имеющей математическое ожидание то и дисперсию s2. Тогда

InS(T) ~ N (мS(t) + - у) (Т - t),a2(T - т)) . (2.6) 2.4. Построение модели

Рассуждения предыдущих разделов лежат в основе строгого математического построения. Рынком называется случайный вектор {So(t), Si(t),..., Sn(t), Di(t),..., Dm(t)}, где Dj(t) является функцией от So(t), ..., Sn(t), удовлетворяющий некоторым условиям согласованности. Случайные величины Si(t) интерпретируются как цена ценной бумаги или акции под номером і в момент времени t, a Dj (t) — как цена j-ото производного финансового инструмента. В простейшей модели, построенной ниже, рассматривается рынок, состоящий только из независимых случайных величин (ценных бумаг)

uu

S(t)u,c

S(t)uu,c

S(t), с

ud

S(t)d,c

S(t)ud,c

dd

S(t)dd,c

Рис. 6. Двухпериодная модель

Согласно формуле (3.1) цена II(t) этого портфеля в момент времени t вычисляется по формуле П(t) = U(t + At)e-rAt. С другой стороны, цена портфеля П(?) = S(t) + vc, где с = c(t) — текущая цена опциона колл. Итак,

s{t) _ S(t)(u-d)c = s(t)Cud-cdUe_rAt

Си Cd

Си Cd

ИЛИ

rAt-d и — d '

rAt

-rAt

(3.8)

q =

-d '

(cup+cdq), где р =

3.2.

<< | >>
Источник: Шаповал А. Б.. Математические методы финансового анализа: Портфельный анализ, модели ценообразования, производные финансовые инструменты. — М.: Финансовая академия при Правительстве РФ, кафедра "Математика и финансовые приложения",2005. - 47 с.. 2005

Еще по теме Лемма Ито: